◆陪集的定义:假设H是群G的一个子群,H={b}.对于群G中任意一个不属于子 群H的元素g,可生成子群H的左陪集g和右陪集Hg 8H={ghlh∈H,Hg={ hag h∈H} 根据群的定义,有跏hagH,bggH.陪集元素的个数等与相应子群的阶 陪集定理:设H是群G的一个子群,则H的两个左陪集gH和f要么完全相等,要 么没有任何公共元素 证明:假设gH和mH中有一个公共元素gha=hg,则有f-1g= hB haCh 根据重排定理,有f-1gH=H,即gH= 拉格朗日定理:有限群的阶是其子群的阶的整数倍 证明:设G的一个n阶有限群,H是群G的一个m阶子群.根据拉格朗日 定理,可以构造一个包括H在内的左陪集串,其中每个陪集没有公共 元素且整个陪集串充满群G,即 G=HU8IHU82HU83HU.UgL1H 则有n=Lm 根据拉格朗日定理,可以得到有限群的一种分割方式,即有限群可以分割其子群的陪集串. 推论:阶为素数的群没有非平庸子群. 例:平面正三角形对称群D3可以按子群H={e,a}分为陪集串H1={ea},bH1={b, CH1={c,a}.也可按子群H4={ad分为陪集串H;={e,d},aH4=bH4=cH4={ab,c}◆ 陪集的定义：假设 H 是群 G 的一个子群， H = { hα }. 对于群 G 中任意一个不属于子 群 H 的元素 g , 可生成子群 H 的左陪集 gH和右陪集 Hg gH = { ghα | hα ∈ H } , Hg = {hα g| hα ∈ H } 根据群的定义, 有 ghα  H , hα g  H . 陪集元素的个数等与相应子群的阶. 陪集定理: 设H 是群 G 的一个子群， 则H 的两个左陪集 gH 和 fH 要么完全相等, 要 么没有任何公共元素. 证明: 假设gH 和 fH 中有一个公共元素ghα = fhβ , 则有 f –1g =hβ hα -1 H. 根据重排定理, 有f –1g H = H , 即g H = fH 拉格朗日定理: 有限群的阶是其子群的阶的整数倍. 证明: 设G 的一个 n 阶有限群, H 是群 G 的一个m 阶子群. 根据拉格朗日 定理, 可以构造一个包括H 在内的左陪集串, 其中每个陪集没有公共 元素且整个陪集串充满群G ,即 G=Hg1Hg2Hg3H…gL-1H 则有 n = Lm. 根据拉格朗日定理, 可以得到有限群的一种分割方式, 即有限群可以分割其子群的陪集串. 推论: 阶为素数的群没有非平庸子群. 例:平面正三角形对称群D3 可以按子群H1={e,a}分为陪集串H1={e,a}, bH1={b,f}, cH1={c,d}. 也可按子群H4={e,d,f}分为陪集串H4={e,d,f}, aH4=bH4=cH4={a,b,c}