3类和不变子群 ◆共轭元素的定义:对于群O中的任意元素S,元素g和f=Sg1定义为互共轭元素.记 为g~f 自轭性:任何元素与其本身共轭,即g~g 对称性:若g~f,则f~g 传递性:若g~f1,g~与,则f1~互 ◆类的定义:群G中所有相互共轭的元素构成的集合称为群O的一个类. 根据共轭关系的性质,群O的一个类中的元素可由该类中任一元素生成,即 f类={f|f=ss1,s∈G,s取遍群G所有元素,重复元素s♂s1只取一次. 根据共轭的传递性可证:两个不同的类没有公共元素 定理:有限群的阶是每一个类的元素个数的整数倍 证明:设G是n阶有限群,对O中的任一元素,作子 H={h∈G|hghr1l=g} 根据陪集定理,可将群G分割成的陪集串.考察陪集串中任一陪集8压2 有g1h8(1H)1=81HgH-11-1=8g81-1. 对于任何g1=881,都有B18(B8)-1=g,即11∈H2 从而∈H。 综上,H的陪集串中每一个陪集对应于类的一个元素,即g类中的元素的个数 等于H的陪集串中陪集的个数3 类和不变子群 ◆ 共轭元素的定义：对于群G中的任意元素s, 元素g 和 f =sgs -1定义为互共轭元素. 记 为 g~f . 自轭性: 任何元素与其本身共轭, 即g~g 对称性: 若g~f , 则f ~ g. 传递性: 若g~f1, g~f2 , 则f1~f2 ◆ 类的定义：群G中所有相互共轭的元素构成的集合称为群G的一个类. 根据共轭关系的性质, 群G的一个类中的元素可由该类中任一元素生成, 即 f类={ f’|f’ = sfs -1 , s G}, s取遍群G所有元素, 重复元素sfs -1只取一次. 根据共轭的传递性可证: 两个不同的类没有公共元素. 定理: 有限群的阶是每一个类的元素个数的整数倍. 证明: 设G是n阶有限群, 对 G中的任一元素g, 作子 Hg= { hG|hgh−1=g } 根据陪集定理, 可将群G分割成Hg的陪集串. 考察陪集串中任一陪集g1Hg . 有 g1Hg g (g1Hg ) −1= g1Hg g Hg −1 g1 −1= g1g g1 −1. 对于任何g2g g2 −1=g1g g1 −1 ，都有g2 −1g1g（ g2 −1 g1）−1 =g，即g2 −1g1Hg ， 从而g2g1Hg 。 综上， Hg的陪集串中每一个陪集对应于g类的一个元素，即g类中的元素的个数 等于Hg的陪集串中陪集的个数