4.计第京达 5.计算+x-产 6设=，其中0，求+ 四、应用题（每小题8分，共16分） 1.设抛物线y=a2+br+c过原点，当0≤xs1时y≥0，又抛物线与直线x=1及x轴 围成平面图形的面积为；求a,么，c使此图形绕x轴旋转一周而成旋转体的体积最小. 2.一无盖容器的侧面和底面分别由曲线弧段y=x2-1(1≤x≤2)和直线段y=0 (0≤x≤1)绕y轴旋转生成。若设坐标轴长度单位为米，现以每分钟2立方米的速度向 容器内加水。试求当水面高度达到容器深度一半时，水面上升的速度、 五、证明题（每小题6分，共18分） 1.设函数f)连续，证明f心+马变=fx+ x 2.若函数f(x)在闭区间[AB上连续，A<a<b<B.证明： ()-) h 3.若满足0=，国+网（21.证明：m国存在且有 ms1+好 44 4．计算 1 2 0 1 ln( ) 1 dx − x  ． 5． 计算 1 1 1 2 1 (1 ) x x x e dx x + + −  . 6．设 1 ln ( ) 1 x t f x dt t = +  ，其中 x  0 ．求 1 f x f ( ) ( ) x + ． 四、应用题（每小题 8 分，共 16 分） 1．设抛物线 2 y ax bx c = + + 过原点，当 0 1  x 时 y  0 ，又抛物线与直线 x = 1 及 x 轴 围成平面图形的面积为 1 3 ．求 abc , , 使此图形绕 x 轴旋转一周而成旋转体的体积最小． 2．一无盖容器的侧面和底面分别由曲线弧段 2 y x = −1 （ 1 2  x ）和直线段 y = 0 （ 0 1  x ）绕 y 轴旋转生成．若设坐标轴长度单位为米，现以每分钟 2 立方米的速度向 容器内加水．试求当水面高度达到容器深度一半时，水面上升的速度． 五、证明题（每小题 6 分，共 18 分） 1．设函数 f x( ) 连续，证明： 2 2 2 1 ( ) a a dx f x x x +  = 2 1 ( ) a a dx f x x x +  ． 2．若函数 f x( ) 在闭区间 [ , ] A B 上连续， A a b B    ．证明： 0 ( ) ( ) lim ( ) ( ) b h a f x h f x dx f b f a → h + − = −  ． 3．若 f x( ) 满足 f (1) 1 = ， 2 2 1 ( ) ( ) f x x f x  = + （ x  1 ）．证明： lim ( ) x f x →+ 存在且有 lim ( ) x f x →+ 1 4   + ．