824 系统工程理论与实践 第33卷 (3)校正出远期利率瞬间波动率 根据远期利率瞬间波动率的分段固定假设，根据公式(2)，可以得到各区间远期利率局部波动率，如表3. 表3各区间未来远期利率局部波动率 区间 0,3M 3M,6M6M,9M9M,1Y1Y,1.25Y1.25Y,1.5Y 1.5Y,1.75Y1.75Y,2Y F(t)0.3184 F2(t)0.3236 0.3184 F3(t) 0.32430.3236 0.3184 F4(t)0.31530.3243 0.3236 0.3184 F5(t)0.3124 0.3153 0.3243 0.32360.3184 F6(t)0.2982 0.3124 0.3153 0.3243 0.3236 0.3184 F(t)0.28510.2982 0.3124 0.3153 0.3243 0.3236 0.3184 Fs(t)0.27010.2851 0.2982 0.31240.3153 0.3243 0.3236 0.3184 5.2MCMC方法参数估计 (1)模型的离散化过程 我们利用历史相对应的区间上的数据，通过MCMC参数估计方法来对该随机波动率过程中的参数进行 估计.以2004年8月5日两年期产品起始日为分界点，记为S时刻，那么(S,S+90)区间内随机波动率过 程的参数主要由(S-720,S-630)区间内的数据利用MCMC方法求的，而(S+90,S+180)区间内的参 数主要由(S-630,S-540)的区间内数据所计算得到.以此类推，其他区间的处理与上述方法相同. 根据以下公式： dF(d)=V(t)o(t)F(t)× @Edt+VVoa,因PEt)dZ),k<i,t≤T +0 j=k+1 (17) dv(t)=k(v-V(t))d(t)+TVV(t)dw 运用欧拉离散方法，可得： F(t+△) F:(t) =ve+△a.国×∑90△+VWt+△Aa,dR因z.k<,t≤T ,1+TF(t) j=k+1 (18) V(t+△)=V(t)+k(w-V(t)d(t)+rVW(t)△w 当i固定时，上述随机过程主要是从F()推导到F:(化+△)，基于分段固定局部波动率假设，我们利用 MCMC方法估计每个区间(3M)中模型随机波动率过程的各个参数.本文主要以F(t)在(O,3M)所服从的 基于随机波动率过程LBOR市场模型为研究对象进行分析阐述 (2)MCMC方法数据选择及检验 以F()为例，假设△=0，t=0,根据上述公式(6)，进行MCMC方法所需要的数据为F(O),F(0+ △)，F1(0+2△)，·，F(0+90△)，其中F(0+30△)=F1(T0),即在即日确定并在T6时刻开始借贷期限为3 个月直到T时刻结束的远期利率. 在零时刻，F(0,T-1,T)=0-P0,A (-1-1)P0,T 经过-个单位的时间区间△，F(△，I-1,T)=份器骨 其中，P为各期零息债券价格，可由各时点的远期利率和互换利率通过三阶样条插值获得.所以，上述过 程类推，即可得到MCMC方法所需数据为：F(O),F(0+△)，F(0+2△)，·，F(0+90△) (3)MCMC数据的平稳性检验 为了研究上述数据的波动特征，我们使用利用插值法求出的休假日期利率从2002年8月16日到2002 年11月2日共91个数据，利用上述方法所得到的F(0),F(0+△)，F1(0+2△)，·，F(0+90△)的收益率 过程，共90数据.收益率时序图如图2. 对序列进行单位根检验，检验结果表明在99%的置信水平上拒绝单位根假设，收益率序列不存在单位根 现象，可以直接作为后面分析的对象 (4)MCMC参数估计结果 本文利用Winbugs软件对Heston随机波动率模型进行参数估计，首先，假设各参数的先验分布假设如 下：1/7~T(1,0.025),h=TV△；中*~(20,1.5)，其中，中=(1-k△)=20*-1；设4=a/(1-)= kw△/(1-)，4~N(-8,25):p~U(-1,+1);△=1/360. 万方数据824 系统工程理论与实践 第33卷 (3)校正出远期利率瞬间波动率 根据远期利率瞬间波动率的分段固定假设，根据公式(2)，可以得到各区间远期利率局部波动率，如表3 表3各区间未来远期利率局部波动率 区间 0，3M F1(t)0．3184 F2(t)0．3236 几(t)0．3243 F4(t)0．3153 F5(t)0．3124 F6(￡)0．2982 F7(t)0．2851 F8(t)0．2701 3M，6M 6M，9M 9M，IY IY，1．25Y 1．25Y，1．5Y 1．5Y，1．75Y 1．75Y，2Y 0．3184 0．3236 0．3243 0．3153 O．3124 0．2982 0．2851 5．2 MCMC方法参数估计 (1)模型的离散化过程 我们利用历史相对应的区间上的数据，通过MCMC参数估计方法来对该随机波动率过程中的参数进行 估计．以2004年8月5日两年期产品起始日为分界点，记为S时刻，那么(S s+90)区间内随机波动率过 程的参数主要由(S一720，S一630)区间内的数据利用MCMC方法求的，而(S+90，S+180)区间内的参 数主要由(S一630，S一540)的区间内数据所计算得到．以此类推，其他区间的处理与上述方法相同． 根据以下公式： 』蜗㈤叫㈤州幻吲吣j萎，搿出+厕以幻删懈@)，㈥胚T (17) I 。…．二一 、’ L dV(t)=K(∥一y(￡))d(￡)+Tv／V(t)dw 运用欧拉离散方法，可得： ，等-V(H酬牡j妻，拦器△+瓜两删踯嘲揪引鲥(18) I 。～ L v(t+A)=v(t)+托(∥一y(￡))d(t)+7-~／y(￡)△u 一 当i固定时，上述随机过程主要是从R(￡)推导到只(￡+△)，基于分段固定局部波动率假设，我们利用 MCMC方法估计每个区间(3M)中模型随机波动率过程的各个参数．本文主要以R(￡)在(0，3M)所服从的 基于随机波动率过程LIBOR市场模型为研究对象进行分析阐述． (2)MCMC方法数据选择及检验 以R(￡)为例，假设A=i丽1，t=0，根据上述公式(6)，进行MCMC方法所需要的数据为F1(o)，F1(0+ △)，F1(0+2A)，…，F1(0+90A)，其中F1(0+30A)=F1(To)，即在即日确定并在％时刻开始借贷期限为3 个月直到乃时刻结束的远期利率． 在零时刻，F(0，互一1，Td=书譬每当黼． 经过一个单位的时间区间A，F(△，死一1，死)=帛譬毒碧搿． 其中，P为各期零息债券价格，可由各时点的远期利率和互换利率通过三阶样条插值获得．所以，上述过 程类推，即可得到MCMC方法所需数据为：F1(o)，F1(0+△)，F1(0+2△)，…，F1(o+90A)． (3)MCMC数据的平稳性检验 为了研究上述数据的波动特征，我们使用利用插值法求出的休假日期利率从2002年8月16日到2002 年11月2日共91个数据，利用上述方法所得到的R(o)，F1(0+△)，F1(0+2A)，…，Fl(0-I-90A)的收益率 过程，共90数据．收益率时序图如图2． 对序列进行单位根检验，检验结果表明在99％的置信水平上拒绝单位根假设，收益率序列不存在单位根 现象，可以直接作为后面分析的对象． (4)4 MCMC参数估计结果 本文利用Winbugs软件对Heston随机波动率模型进行参数估计，首先，假设各参数的先验分布假设如 下：1／％2，一r(1，o．025)，"rh=7_、／△；咖+一Z(20，1．5)，其中，咖=(1一，c△)=2≯+一1；设p=a／(1一≯)一 KuA／(1一咖)，p—N(-8，25)；P^一u(一1，+1)；A=1／360． 4 6 8 3 1 2 3 3 0 0 4 6 3 8 3 4 1 2 2 3 3 3 0 0 0 4 6 3 3 8 3 4 5 1 2 2 1 3 3 3 3 0 0 0 0 4 6 3 3 4 8 3 4 5 2 1 2 2 1 1 3 3 3 3 3 0 0 0 0 0 4 6 3 3 4 2 8 3 4 5 2 8 1 2 2 1 1 9 3 3 3 3 3 2 O 0 0 0 0 0 万方数据