注意上述三个2维格的第一、第三个不能表示3，第二个不能表示5.因 此，只考虑前两个.将它们扩充成3维格L3=<e1,e2,e3>.欲使它们能够分 别表示3与5，则L3对应的矩阵应为 正定性要求a,b=0,1:c,d=0,1,2.于是L3有10种情况：每一个不能表 示{1,2,3,5,6,7,10,14,15}中的一个或几个 继续！将这10个3维格扩充成4维格L4,可得203种4元二次型，几乎每 个都是万有的！ 100 例4对第一个3维格L3(1) 8 =13,其二次型x2+2+ z2(不能表示7)扩张成的四元二次型(4维格)为 x2+y2+z2+mw2(m≤7) 这些二次型都是万有的！这是因为下面的 Legendre.三平方定理正整数n可被二次型x2+y2+2表示←→ n≠4(8k+7). 习题3求一个三元正定二次型使得其不能表示的最小正整数（该数称 为truant)是14.找出该二次型对应的格的2组不同的基使得其中至少一 组基的基向量不是两两垂直的， 8✺➾þã♥❻2➅❶✛✶➌✦✶♥❻Ø❯▲➠3➜✶✓❻Ø❯▲➠5. Ï ❞➜➄⑧➘❝ü❻. ò➜❶✯➾↕3➅❶L3 =< e1, e2, e3 >. ➊➛➜❶❯✡➞ ❖▲➠3❺5➜❑L3é❆✛Ý✡❆➃   1 0 0 0 α 0 0 0 β  ,   1 0 a 0 1 b a b 3  ,   1 0 c 0 2 d c d 5  . ✔➼✺❻➛a, b = 0, 1; c, d = 0, 1, 2. ✉➫L3❦10➠➐➵➭③➌❻Ø❯▲ ➠{1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15}➙✛➌❻➼❆❻. ❯❨➐òù10❻3➅❶✯➾↕4➅❶L4➜➀✚203➠4✄✓❣✳➜❆✂③ ❻Ñ➫✙❦✛➐ ⑦4 é✶➌❻3➅❶L3(1) =   1 0 0 0 1 0 0 0 1   = I3➜Ù✓❣✳x 2 + y 2 + z 2 (Ø❯▲➠7)✯Ü↕✛♦✄✓❣✳(4➅❶)➃ x 2 + y 2 + z 2 + mw2 (m ≤ 7) ù✡✓❣✳Ñ➫✙❦✛!ù➫Ï➃❡→✛ Legendre♥➨➄➼♥ ✔✒ên ➀✚✓❣✳x 2 + y 2 + z 2 ▲➠ ⇐⇒ n 6= 4e (8k + 7). ❙❑3 ➛➌❻♥✄✔➼✓❣✳➛✚ÙØ❯▲➠✛⑩✂✔✒ê(❚ê→ ➃truant)➫14. éÑ❚✓❣✳é❆✛❶✛2⑤ØÓ✛➘➛✚Ù➙➊✟➌ ⑤➘✛➘➉þØ➫üü❘❺✛. 8