I-tan- 1+tan 2 tan 2 tan- (5)ma"/x1)=1im lim 1+ → 8.指出下列函数的不连续点,并确定其不连续的类型: (y=x2-3x+2 (2)y=[x] sInx (4)y=[2x]-2[x] y (6)y=xIn" x-X √1+ x|(x2-1) y=五 (9)y sina,x为有理数 (10)y x=9(p,q互质,p>0) 10,x为无理数 P 0, x为无理数 解(1)x=1.-2,第二类不连续点 (2)x=k(k∈Z,k≠0),第一类不连续点;x=0,第二类不连续点。 (3)x=kπ(k∈Z,k≠0),第二类不连续点;x=0,第三类不连续点 x=1k(k∈z),第一类不连续点。 (5)x=0,第三类不连续点。 (6)x=0,第三类不连续点 (7)x=0,第一类不连续点;x=1,第三类不连续点;x=-1,第 二类不连续点。 (8)x=0,第三类不连续点。 (9)非整数点,第二类不连续点。 (10)非整数有理点,第三类不连续点 9.设f(x)在(0+∞)上连续,且满足f(x2)=f(x),x∈(0,+∞),证明f(x) 在(0,+∞)上为常数函数。 证x∈(0+2),利用f(x2)=f(x)得到∫(x)=八(x),由与1及 f(x)的连续性,得到f(x)=limf(x2")=f(l)。（5）limn→∞ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + n n 1 4 tan π limn→∞ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + n n n 1 1 tan 1 1 tan limn→∞ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − n n n n n n n 1 1 tan 1 2 tan 1 2 tan 1 1 tan 1 1 tan 1 2 tan 1 2 e 。 8. 指出下列函数的不连续点，并确定其不连续的类型： ⑴ y = x x x 2 3 1 3 2 − − + ⑵ y = [x]sin 1 x ； ⑶ y = x sin x ； ⑷ y = [2x] - 2[x]； ⑸ y = 1 x n 2 1 e x − ； ⑹ y = x lnn |x |； ⑺ y = x x x x 2 2 1 − | |( − ) ； ⑻ y = 1 3 1 1 2 1 + − + − x x ； ⑼ y = ⎩ ⎨ ⎧ ; , 0 sin , 为无理数 为有理数 ， x πx x ⑽ y = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = > 0 . sin , ( , 0), 为无理数 互质 ， ， x p q p p q x p π 解（1） x =1,−2，第二类不连续点。 （2） x = k (k ∈ Z, k ≠ 0)，第一类不连续点； x = 0，第二类不连续点。 （3）x = kπ (k ∈ Z,k ≠ 0)，第二类不连续点；x = 0，第三类不连续点。 （4） ( ) 2 1 x = k k ∈ Z ，第一类不连续点。 （5） x = 0，第三类不连续点。 （6） x = 0，第三类不连续点。 （7）x = 0，第一类不连续点；x = 1，第三类不连续点； ，第 二类不连续点。 x = −1 （8） x = 0，第三类不连续点。 （9）非整数点，第二类不连续点。 （10）非整数有理点，第三类不连续点。 9．设 f (x)在(0,+∞)上连续，且满足 f (x 2 ) = f (x) ，x ∈ (0,+∞) ，证明 在 上为常数函数。 f (x) (0,+∞) 证 ∀x ∈ (0,+∞)，利用 f (x 2 ) = f (x) 得到 ( ) ( ) 2 1 n f x = f x ，由 lim 1 2 1 = →∞ n x n 及 f (x)的连续性，得到 →∞ = n f (x) lim ( ) (1) 2 1 f x f n = 。 46