max f, g)=max i(x), g(x)),xE[a, b min{,g}=min{f(x),g(x)},x∈[a,b]。 证由f,g在[ab上的连续性,可知f(x)-8(x)在[ab上连续,利用等 式 maxg}=(x)+g(x)+(x)-g(x)}, min g}=1(x)+8(x)-1(x)-g(x), 即得到max{f,g}与min{f,g}在ab]上的连续性。 6.若对任意8>0,f在[a+8,b-8]上连续,能否得出 (1)f在(an.b)上连续? (2)∫在[a,上连续? 解(1)能。(2)不能。 7.设lmf(x)=a>0,limg(x)=β,证明:limf(x)x=a°;并求下 列极限 m sin x I- (sina≠0); (4) lim(n+x \Sin a (5)lim tan 4 n 证由于lmg(x)lnf(x)= BIna,利用指数函数的连续性,得到 x→x0 x) lim f(x)= li m &(x)In f(3)=e BIna =ao 1)lim 2 (2)lim 2 lim 1+ (3)lim sinx x-a lim 1 sinx-sin a Y-sIna cota n-n-1 (4)1im(n+x 1+x+1max{f，g} = max { f x( ) ， g(x) }，x∈[a,b]； min {f，g} = min { f x( ) ， g(x) }，x∈[a,b]。 证 由 f , g 在[a,b]上的连续性，可知 f (x) − g(x) 在 上连续，利用等 式 [a,b] { } { } ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 max f , g = f x + g x + f x − g x ， { } { } ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 min f , g = f x + g x − f x − g x ， 即得到 max { f , g }与 min{ f , g }在[a,b]上的连续性。 6. 若对任意δ > 0，f 在［a +δ , b - δ］上连续，能否得出 (1) f 在(a,b)上连续? (2) f 在[a,b]上连续? 解 （1）能。（2）不能。 7. 设 lim = x x → 0 f (x) α＞0， limx x → 0 g(x) = β，证明： = ；并求下 列极限： limx x → 0 f x g x ( ) ( ) αβ ⑴ limx→∞ 1 2 1 1 1 + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + x x x x ； ⑵ limx→∞ x x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + 1 1 ； ⑶ limx a → x a a x − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1 sin sin (sin a ≠ 0)； ⑷ limn→∞ n n n x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + 1 ； ⑸ limn→∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + n n 1 4 tan π 。 证 由于 lim[ ( )ln ( )] β lnα 0 = → g x f x x x ，利用指数函数的连续性，得到 = → ( ) lim ( ) 0 g x x x f x = → ( )ln ( ) 0 lim g x f x x x e β α β =α ln e 。 （1）limx→∞ 1 2 1 1 1 + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + x x x x = 1。 （2）limx→∞ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + x x x 1 1 limx→∞ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − 1 2 2 1 1 2 1 x x x x 2 e 。 （3）limx a → ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x−a a x 1 sin sin limx a → = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − − x a a x a x a a a x a ( )sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1 a ecot 。 （4）limn→∞ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + n n n x 1 limn→∞ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + − + + − 1 ( 1) 1 1 1 1 1 n x n x n n x x+1 e 。 45