且对于上述的VE>0,352>0,Vx:0<x-<22 有(x)-A<e 令6=mn(4),则x:0<k一列<6,有 (x)-4|<e 故 lim f(x)=A 例2函数 f(x)={0,x 证明当x→>0时(x)的极限不存在 证当x→0时(x)的左极限期。()=m(x-1)=-1 而右极限x→+ f(x)=lim(x+1) limf() 因为左极限和右极限存在但不相等,所以x0 不存在(图1-7) 2.自变量趋于无穷大时函数的极限 如果函数f(x)当无限增大时,f(x)取值和常数要多接近就有多接近,此时称A是 f(x)当x→0时的极限,记作 limf(x)=A 下面给出定量化的定义("-x"定义) 定义设函数(x)当大于某一正数时有定义如果对于任意给定的正数已(不论它多 么小),总存在着正数x,使得对于适合不等式>E的一切x,对应的函数值f( 都满足不等式(x)A<E,那么常数A就叫做函数f(x)当x→∞时的极限,记作 m。()=A或/()→A(当x→m) lim snx 例3证明x→∞x Sin 2 Ve>O 取x=则当|>时恒有 <E, 故im 0. 下面给出x lim f(x)=A 的定义 定义设函数f(x)在(,+)内有定义 如果V>0,3x>0,使当x>时,恒有(x)-A<E那么常数A就叫做函数f(x当 x→+时的极限,记作 imf(x)=A或f(x)→A(当x→+0)且对于上述的 有 . 令 ，有 故 . 例2 函数 证明当 时 的极限不存在. 证 当 时 的左极限 ， 而右极限 ， 因为左极限和右极限存在但不相等，所以 不存在（图1-7） ２．自变量趋于无穷大时函数的极限 如果函数 当 无限增大时， 取值和常数 要多接近就有多接近，此时称 是 当 时的极限，记作 . 下面给出定量化的定义（ ） 定义 设函数 当 大于某一正数时有定义.如果对于任意给定的正数 （不论它多 么小），总存在着正数 ，使得对于适合不等式 的一切 ，对应的函数值 都满足不等式 ，那么常数 就叫做函数 当 时的极限，记作 或 （当 ）. 例3 证明 证： 下面给出 的定义： 定义 设函数 在 内有定义. 如果 那么常数 就叫做函数 当 时的极限，记作 或 （当 ）