补法”的应用 空腔里现在虽然空无一物,但可以看成是两个半径为R2的球的叠加:一个的质量为+M8,一个的 质量为一M8。然后,前者正好填补空腔——和被挖除后剩下的部分构成一个完整的均质球A:注意 后者,虽然是一个比较特殊的物体(质量为负值),但仍然是一个均质的球体,命名为B。 既然A、B两物均为均质球体,他们各自和右边小物体之间的万有引力,就可以使用“拓展条件 中的定势来计算了。只是有一点需要说明,B物的质量既然负值,它和m之间的万有“引力”在方向上 不再表现为吸引,而应为排斥一一成了“万有斥力”了。具体过程如下 Mm F Mm R 8d、R 最后,两物之间的万有引力F=FAm+FBn=GMm-G-M 8(d 需要指出的是,在一部分同学的心目中,可能还会存在另一种解题思路,那就是先通过力矩平衡求 被挖除物体的重心(仍然要用到“填补法”、负质量物体的重力反向等),它将在O、O′的连线上距离 O点左侧R/14处,然后“一步到位”地求被挖除物与m的万有引力 然而,这种求法违背了万有引力定律适用的条件,是一种错误的思路 六、天体运动的计算 物理情形:地球和太阳的质量分别为m和M,地球绕太阳作椭圆运动,轨道的半长轴为a,半短 轴为b,如图11所示。试求地球在椭圆顶点A、B、C三点的运动速度,以及轨迹在A、C两点的曲率 半径。 模型分析:求解天体运动的本来模式,常常要用到开 普勒定律(定量)、机械能守恒(万有引力势能)、椭圆的 数学常识等等,相对高考要求有很大的不同 地球轨道的离心率很小(其值≈0.0167,其中c 为半焦距),这是我们常常能将它近似为圆的原因。为了 方便说明问题,在图11中,我们将离心率夸大了 针对地球从A点运动到B点的过程,机械能守恒 mvA+(-GMm )=-mv2+(-G Mm 图11 a+ c 比较A、B两点,应用开普勒第二定律,有:VA(a-c)=vB(a+c 结合椭圆的基本关系:c=8 补法”的应用。 空腔里现在虽然空无一物，但可以看成是两个半径为 R/2 的球的叠加：一个的质量为+M/8 ，一个的 质量为－M/8 。然后，前者正好填补空腔——和被挖除后剩下的部分构成一个完整的均质球 A ；注意 后者，虽然是一个比较特殊的物体（质量为负值），但仍然是一个均质的球体，命名为 B 。 既然 A、B 两物均为均质球体，他们各自和右边小物体之间的万有引力，就可以使用“拓展条件” 中的定势来计算了。只是有一点需要说明，B 物的质量既然负值，它和 m 之间的万有“引力”在方向上 不再表现为吸引，而应为排斥——成了“万有斥力”了。具体过程如下 FAm = G 2 d Mm FBm = G 2 2 R d m 8 M       − −  = －G 2 ) 2 R 8(d Mm − 最后，两物之间的万有引力 F = FAm + FBm = G 2 d Mm －G 2 ) 2 R 8(d Mm − 需要指出的是，在一部分同学的心目中，可能还会存在另一种解题思路，那就是先通过力矩平衡求 被挖除物体的重心（仍然要用到“填补法”、负质量物体的重力反向等），它将在 O、O′的连线上距离 O 点左侧 R/14 处，然后“一步到位”地求被挖除物与 m 的万有引力 F = G 2 ) 14 R (d m 7 M +  然而，这种求法违背了万有引力定律适用的条件，是一种错误的思路。 六、天体运动的计算 物理情形：地球和太阳的质量分别为 m 和 M ，地球绕太阳作椭圆运动，轨道的半长轴为 a ，半短 轴为 b ，如图 11 所示。试求地球在椭圆顶点 A、B、C 三点的运动速度，以及轨迹在 A、C 两点的曲率 半径。 模型分析：求解天体运动的本来模式，常常要用到开 普勒定律（定量）、机械能守恒（万有引力势能）、椭圆的 数学常识等等，相对高考要求有很大的不同。 地球轨道的离心率很小（其值 a c ≈0.0167 ，其中 c 为半焦距），这是我们常常能将它近似为圆的原因。为了 方便说明问题，在图 11 中，我们将离心率夸大了。 针对地球从 A 点运动到 B 点的过程，机械能守恒 2 1 m 2 A v +（－ a c Mm G − ）= 2 1 m 2 B v +（－ a c Mm G + ） 比较 A、B 两点，应用开普勒第二定律，有：vA（a－c）= vB（a + c） 结合椭圆的基本关系：c = 2 2 a − b