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第11期 摩福成：多个执行机构的系数无界Luie系统和Lurie大系统的绝对稳定性 ,1473 即‖A‖=巴码，‖AxI,易证‖A‖= 6:=-Pf:(),=1,2,…,m (3) N入r(ATA) 对孤立子系统(2)，作Lyapunov函数 1主要定理及其证明 Vo=x'Px (4) 由于P正定对称，所以Vo是R”中的正定二次型. 考虑具有多个执行机构的Lrie间接控制系 统5 注意V0还有无穷小上界和无限大性质，另外还有 iolg=x[AT(t)P+PA(t)]x≤-a(t)‖xI2, x=A(t)x十2b(t)f(g) =1 =1,2,,m 由于lim(t)=十o,所以存在t1>t使得t≥h ai=c(t)x-0(t)fi() 时有(t)>l,从而t≥t1时有 (1) vol2≤-‖x‖2， 式中，x∈R;b:(t)∈R;c:(t)∈R"(i=1,2,, 所以孤立子系统（②）的零解是全局渐近稳定的 m);A(t)是nXn矩阵函数；在(t,十o)上连续，这 对(3)中的第i(=1,2,…,m)个孤立子系统， 里(R或=-∞；f()(i=1,2,…,m)为连续 作Lyapunov函数 函数，满足f:(0)=0、:≠0时f:(:)>0;(t)≥ >0(i=1,2,…,m) =()=(oa (5) 士∞ 附注1本文假设。f(o)do=+∞(=1， 由于f:(:)的性质，V:亦是正定的，而且，从对f: 的假设知V:有无穷小上界和无限大性质.由于 2,m),于是函数重()=0f()dc满足：① 重，(0)=0：②≠0时④()>0：③1m重(o)= lg=f( 十°，即Φ（σ）是正定函数，有无限大性质，且有无 -(t)f()≤-Pfi(), 穷小上界[5,1] 同样，从f()的性质，V:(3是负定的.所以(3)中 附注2在以上假设下，系统(1)只有一个平衡 点(x…m)T=0. 的每个孤立子系统的零解也是全局渐近稳定的· (2)求V:(=0,1,…,m)关于系统(1)的轨线 如果对任何满足上述条件的f:(:)(=1,2, 的全导数并估计其大小. …,m),系统(1)的零解都是全局渐近稳定的，则称 系统(1)是绝对稳定的， Vola)=x"[AT()P+PA(t)]x+ 假设I设存在正定对称常数矩阵P,使得 X[AT()P+PA()]-6(t)<0 22rp%(eK4c 式中，8(t)>0(Ht∈(t,十oo),设limò(t)= 十∞； -ox+2空1m(oI1x= 假设Ⅱ 2b(≤KJ8080 ‖c()L≤ ()xlI-()llx+ (t)(t) M:. 式中，K:和M:(=1,2,…,m)为常数 会胎a≤ 注意：假设I体现了系数无界的特点；假设Ⅱ相 (c)lxl-J()lx‖+ 当于说，关联项比主对角线上的“元素”要小. 定理1在假设I,假设Ⅱ下，如果之KM< K:(ol()] (6) =1 1成立，则Lurie间接控制系统(l)是绝对稳定的， 对V:(=1,2,,m),有 证明(l)构造孤立子系统的Lyapunov函数. 先考虑孤立子系统 ,lw=fi品l = x=A(t)x (2) f()[c(t)x-(t)f:()]≤ 和 ‖c(t)lf()l‖x‖-(t)lf(o)l2≤即 ‖ A ‖ ＝ max ‖ x‖＝1 ‖ Ax ‖易 证 ‖ A ‖ ＝ λmax（ A T A）． 1 主要定理及其证明 考虑具有多个执行机构的 Lurie 间接控制系 统［5－6］ x ·＝ A（ t） x＋∑ m j＝1 bj（ t） f j（σj） σ · i ＝ c T i （ t） x－ρi（ t） f i（σi） i＝12…m （1） 式中x∈R n；bi（ t）∈R n；ci（ t）∈R n （ i＝12… m）；A（ t）是 n×n 矩阵函数；在（τ＋∞）上连续这 里 τ∈R 或 τ＝－∞；f i（σi）（ i＝12…m）为连续 函数满足 f i（0）＝0、σi≠0时 σif i（σi）＞0；ρi（ t）≥ ρi＞0（ i＝12…m）． 附注1 本文假设∫ ±∞ 0 f i（σ）dσ＝＋∞（ i＝1 2…m）于是函数 Φi（σ）＝∫ σ 0 f i（σ）dσ满足：① Φi（0）＝0；② σ≠0时 Φi（σ）＞0；③ lim ｜σ｜→＋∞ Φi（σ）＝ ＋∞．即 Φi（σ）是正定函数有无限大性质且有无 穷小上界［519］． 附注2 在以上假设下系统（1）只有一个平衡 点（ x T σ1 … σm） T＝0． 如果对任何满足上述条件的 f i （σi）（ i＝12 …m）系统（1）的零解都是全局渐近稳定的则称 系统（1）是绝对稳定的． 假设Ⅰ 设存在正定对称常数矩阵 P使得 λ［ A T （ t） P＋PA（ t）］≤－δ（ t）＜0． 式中δ（ t）＞0（∀t ∈（τ＋∞））设 limt→＋∞ δ（ t）＝ ＋∞； 假设 Ⅱ 2‖Pbi（ t）‖ δ（ t）ρi（ t） ≤ Ki ‖ci（ t）‖ δ（ t）ρi（ t） ≤ Mi． 式中Ki 和 Mi（ i＝12…m）为常数． 注意：假设Ⅰ体现了系数无界的特点；假设Ⅱ相 当于说关联项比主对角线上的“元素”要小． 定理1 在假设Ⅰ、假设Ⅱ下如果 ∑ m i＝1 KiMi＜ 1成立则 Lurie 间接控制系统（1）是绝对稳定的． 证明 （1） 构造孤立子系统的 Lyapunov 函数． 先考虑孤立子系统 x · ＝ A（ t） x （2） 和 σ · i＝－ρif i（σi）i＝12…m （3） 对孤立子系统（2）作 Lyapunov 函数 V0＝x T Px （4） 由于 P 正定对称所以 V0 是 R n 中的正定二次型． 注意 V0 还有无穷小上界和无限大性质．另外还有 V · 0｜（2）＝x T ［ A T （ t） P＋PA（ t）］ x≤－δ（ t）‖x‖2 由于 limt→＋∞ δ（ t）＝＋∞所以存在 t1＞τ使得 t≥ t1 时有 δ（ t）＞1从而 t≥t1 时有 V · 0｜（2）≤－‖x‖2 所以孤立子系统（2）的零解是全局渐近稳定的． 对（3）中的第 i（ i＝12…m）个孤立子系统 作 Lyapunov 函数 V i＝Φi（σi）＝∫ σi 0 f i（σ）dσ （5） 由于 f i（σi）的性质V i 亦是正定的．而且从对 f i 的假设知 Vi 有无穷小上界和无限大性质．由于 V · i｜（3）＝ f i（σi） dσi d t （3） ＝ －ρi（ t） f 2 i（σi）≤－ρif 2 i（σi） 同样从 f i（σi）的性质V · i｜（3）是负定的．所以（3）中 的每个孤立子系统的零解也是全局渐近稳定的． （2） 求 V i（ i＝01…m）关于系统（1）的轨线 的全导数并估计其大小． V · 0｜（1）＝x T ［ A T （ t） P＋PA（ t）］ x＋ 2∑ m i＝1 x T Pbi（ t） f i（σi）≤ －δ（ t）‖x‖2＋2∑ m i＝1 ‖Pbi（ t）‖‖xi‖｜fi（σi）｜＝ δ（ t）‖x‖ － δ（ t）‖x‖＋ ∑ m i＝1 2‖Pb（ t）‖ δ（ t）·ρi（ t） ρi（ t）｜f i（σi）｜ ≤ δ（ t）‖x‖ － δ（ t）‖x‖＋ ∑ m i＝1 Ki ρi（ t）｜f i（σi）｜ （6） 对 V i（ i＝12…m）有 V · i｜（1）＝ f i（σi） dσi d t （1） ＝ f i（σi）［ c T i （ t） x－ρi（ t） f i（σi）］≤ ‖ci（ t）‖｜f i（σi）｜‖x‖－ρi（ t）｜f i（σi）｜2≤ 第11期 廖福成： 多个执行机构的系数无界 Lurie 系统和 Lurie 大系统的绝对稳定性 ·1473·