第二章多元函数微分法 解考虑二元函数y=l,=-, 应用推论得 =2血+h d x +(n u ) u 例2设二=∫(xy,-),∫二阶连续可微,求 u=xy, f=2,f2 fMl f1=f2 则 ax aa aa-V5'+7 f2 ar au aa 特别要注意的是 都是u,v的函数,所以 可)=2()+2() af 1 af vat a,yJ aaaaaaaa af. af )f+1 将以上两式代入前式得 x2=yfn+2f12+1 例3设二=(x,y)二阶连续可微,并且满足方程 2B 若令 u=stay v=x+By 试确定a,B为何值时能变原方程为 0 解将x,y看成自变量,,v看成中间变量,利用链式法则得 ax Ou ax Ov ax Ou av (Ou av 第三节复合函数微分法第二章 多元函数微分法 第三节 复合函数微分法 解 考虑二元函数 v y=u , u x v x = = − 1 1 , ，应用推论得 . dx dv v y dx du u y dx dy     = + (1 ln ). 1 1 (ln ) 1 1 2 2 2 1 x x x u u x v u x v v  −      + = − − − 例 2 设 z f xy x y = ( , )， f 二阶连续可微，求 x z 2 2   . 解 记 , , , , 1 2 v f f u f f y x u xy v     = =  =  = , , , 2 2 12 21 2 2 22 2 11 v u f f f v f f u f f         =  =  =  = 则 ( ). 1 ( ) ) 1 ( ) ( , 1 2 1 2 1 2 v f u y x f x y f y yf x x z x x z f y y f x v v f x u u f x z                           = + = = +  = + = +  特别要注意的是：     f u f v , 都是 u,v 的函数，所以 x v u f x v u u f u u f x                 ( ) = ( ) + ( ) = 11 12 2 2 2 1 1 f y y f u v f u y f y =  +   +     x v v f x v u v f v u f x                 ( ) = ( ) + ( ) = 2 11 22 2 2 1 1 f y y f v f u v y f y =  +   +     将以上两式代入前式得 f y y f f x z =  +  +  11 12 2 22 2 2 2 1 2   例 3 设 z = z(x, y) 二阶连续可微，并且满足方程 2 0 2 2 2 2 2 + =  − + y z C x y z B x z A       若令 ,    = + = + v x y u x y   试确定 ,  为何值时能变原方程为： 0 2 =    u v z . 解 将 x,y 看成自变量， u, v 看成中间变量，利用链式法则得 z v u v z u z x v v z x u u z x z         +   =   +   =     +     =   ;