第二章多元函数微分法 a: 0v=a+Balaa +B +2aB av2 ay auav B-s a2= aaz B (a+B)-+B B 由此可得 0=A +2B-+C xoy 8 (4+Bax+ca)92+4+B(a+)+Ca)0三+ 只要选取α,B使得 A+2Ba +ca2=0 0 问题成为方程A+2Bt+Ct2=0有两不同实根,即要求: B2-AC>0 令a=-B+√B2-AC,B=-B-√B2-AC,即可 a/az 此时 =0三 auoy )→=「h+() ==fu)+g(v)=f(x+a)+g(x+B, u,=x, cosx2+(,+x y1=l1l2-l12 例4已知Y u,=x, sin x2+x,x2 Uill 试求2(,),并计算2(y2 O(x1,x2) 解由复合函数微分法得 第三节复合函数微分法第二章 多元函数微分法 第三节 复合函数微分法 z v u v z u z y v v z y u u z y z         +   =   +   =     +     =       ; z v u v z u v z u z v z u z x x z 2 2 2 2 2 2 2 2 2         +   =   +    +    =        +     =   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v z u v z u z v z u z y y z   +    +    =        +     =         z u v 2         +   =   ( ) 2 2 2 2 2 2 v z u v z u z v z u z x y x z   +    + +    =        +     =          = z u v u v         +           +     由此可得 2 2 2 2 2 0 2 y z C x y z B x z A       +  = − + = = ( ) ( ( ) ) +    + + + +   + + u v z A B C u z A B C 2 2 2 2 2   2     + ( ) 2 2 2 2 v z A B C   +  +  只要选取 ,  使得     + + = + + = 2 0 2 0 2 2     A B C A B C , 0 2 =    u v z . 问题成为方程 2 0 2 A+ B t +Ct = 有两不同实根，即要求： 0 2 B − AC  . 令 = −B + B − AC 2  , = −B − B − AC 2  ,即可。 此时， 0 2 =    u v z  0 2 =    u v z   = 0          v z u  (v) v z =     z = (v)dv + f (u)   z = f (u)+ g(v) = f (x +y)+ g(x + y) 例4 已知     = − = − = 2 2 1 3 2 1 1 2 1 3 y u u u y u u u u Y ， ( )      = − + = + = + + 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 sin cos u x x x x u x x x x u x x x x ， 试求 x y x x 1 1 1 2   ( , ) ,并计算 (1,0) 1 2 1 2 ( , ) ( , ) x x y y   . 解 由复合函数微分法得