Nelson- Siegel模型数据拟合与估计 收益率曲线的拟合方法 推导收益率曲线的拟合或构造模型,主要包括样条法( Splines method)、尼尔森-辛 格尔( Nelson- Siegel)模型等。下面,对这些主要收益率曲线模型进行介绍 样条法包括多项式样条法和指数样条法 1、多项式样条法 多项式样条法是由麦克库隆茨( Mc culloch)于1971年提出的,它的主要思想是将贴现 函数用分段的多项式函数来表示。在实际应用中,多项式样条函数的阶数一般取为三,从而 保证贴现函数及其一阶和二阶导数都是连续的。②于是我们用下式表示期限为贴现函数 B(t Bo()=do+co/+b/+a/, 1E[o, B()={B2()=d1+ct+b2+ar2,∈[n,m Bm(1=d2+c,1+b2?a,1,tE[m, 20 式中,贴现函数B(1)代表在未来时间T到期,剩余时间为t的零息票债券(又称为纯贴现 债券)的价格;n,m是样条函数的节点。在本例中,贴现因子函数有12个参数。为了满足 贴现函数及其导数的连续性,下面等式也必须成立 B B B ((0 n)= B(n Bo(m) 上式中,BO()是函数B()的第i阶导数(i=0,1,2)。利用以上约束条件,我们可 以将样条函数中的参数减少到5个并取为a0、b、C、a1和a2。将贴现函数用这些参数 表示为 B()=1+c1+b2+ar3,t∈[0,n B()≈6(0)=1+c+b2+41[7-(-m+a(-m),t∈[nm B()=1+(+bx2+a[-(-n)]+a[-n)--m)] a2(t-m),t∈[Lnm 这些参数可以通过用(2)式的贴现函数所计算的债券价格拟合市场价来确定 2、指数样条法 指数样条法则是考虑到贴现函数基本上是一个随期限增加而指数下降的函数,它是瓦西 塞克( Vasicek)和弗隆戈(Fong)在1982年提出的,该方法将贴现函数用分段的指数函数 来表示。同样为了保证曲线的连续性和平滑性,通常采用三阶的指数样条函数,其形式如下: 2当多项式样条函数为二阶时,B()的二阶导数是离散的,而且当阶数过高(如四阶、五阶)时,验证三 阶或四阶是否连续的难度将增大。1 Nelson-Siegel 模型数据拟合与估计 一、收益率曲线的拟合方法 推导收益率曲线的拟合或构造模型，主要包括样条法（Splines Method）、尼尔森-辛 格尔(Nelson-Siegel)模型等。下面，对这些主要收益率曲线模型进行介绍： 样条法包括多项式样条法和指数样条法。 1、多项式样条法 多项式样条法是由麦克库隆茨（Mc Culloch）于1971年提出的, 它的主要思想是将贴现 函数用分段的多项式函数来表示。在实际应用中，多项式样条函数的阶数一般取为三，从而 保证贴现函数及其一阶和二阶导数都是连续的。②于是我们用下式表示期限为t的贴现函数 B t  ：               2 3 0 0 0 0 0 2 3 1 1 1 1 2 3 2 2 2 2 , 0, , , , ,20 n m B t d c t b t a t t n B t B t d c t b t a t t n m B t d c t b t a t t m                       (1) 式中, 贴现函数 Bt() 代表在未来时间T到期，剩余时间为t的零息票债券（又称为纯贴现 债券）的价格；n , m 是样条函数的节点。在本例中，贴现因子函数有12个参数。为了满足 贴现函数及其导数的连续性, 下面等式也必须成立： ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) (0) 1 i i n i i n m B n B n B m B m B    (2) 上式中， ( ) () i B  是函数 B() 的第 i 阶导数（i = 0,1, 2）。利用以上约束条件，我们可 以将样条函数中的参数减少到5个并取为 0 a 、 0 b 、 0 c 、 1 a 和 2 a 。将贴现函数用这些参数 表示为:         2 3 0 0 0 0 2 3 3 3 0 0 0 1 2 3 3 3 3 0 0 0 1 3 2 ( ) 1 , 0, ( ) 1 ( ) ( ) , , ( ) 1 ( ) ( ) ( ) + ( ) , , n m B t c t b t a t t n B t c t b t a t t n a t n t n m B t B t c t b t a t t n a t n t m a t m t n m                                                (3) 这些参数可以通过用(2)式的贴现函数所计算的债券价格拟合市场价来确定。 2、指数样条法 指数样条法则是考虑到贴现函数基本上是一个随期限增加而指数下降的函数，它是瓦西 塞克（Vasicek）和弗隆戈（Fong）在1982年提出的，该方法将贴现函数用分段的指数函数 来表示。同样为了保证曲线的连续性和平滑性，通常采用三阶的指数样条函数，其形式如下： ②当多项式样条函数为二阶时， Bt() 的二阶导数是离散的，而且当阶数过高（如四阶、五阶）时，验证三 阶或四阶是否连续的难度将增大