复旦大学：《投资学原理 Investments》课程教学资源（投资试验）Nelson-Siegel 模型数据拟合与估计.pdf_大学文库

Nelson- Siegel模型数据拟合与估计收益率曲线的拟合方法推导收益率曲线的拟合或构造模型,主要包括样条法( Splines method)、尼尔森-辛格尔( Nelson- Siegel)模型等。下面,对这些主要收益率曲线模型进行介绍样条法包括多项式样条法和指数样条法 1、多项式样条法多项式样条法是由麦克库隆茨( Mc culloch)于1971年提出的,它的主要思想是将贴现函数用分段的多项式函数来表示。在实际应用中,多项式样条函数的阶数一般取为三,从而保证贴现函数及其一阶和二阶导数都是连续的。②于是我们用下式表示期限为贴现函数 B(t Bo()=do+co/+b/+a/, 1E[o, B()={B2()=d1+ct+b2+ar2,∈[n,m Bm(1=d2+c,1+b2?a,1,tE[m, 20 式中,贴现函数B(1)代表在未来时间T到期,剩余时间为t的零息票债券(又称为纯贴现债券)的价格;n,m是样条函数的节点。在本例中,贴现因子函数有12个参数。为了满足贴现函数及其导数的连续性,下面等式也必须成立 B B B ((0 n)= B(n Bo(m) 上式中,BO()是函数B()的第i阶导数(i=0,1,2)。利用以上约束条件,我们可以将样条函数中的参数减少到5个并取为a0、b、C、a1和a2。将贴现函数用这些参数表示为 B()=1+c1+b2+ar3,t∈[0,n B()≈6(0)=1+c+b2+41[7-(-m+a(-m),t∈[nm B()=1+(+bx2+a[-(-n)]+a[-n)--m)] a2(t-m),t∈[Lnm 这些参数可以通过用(2)式的贴现函数所计算的债券价格拟合市场价来确定 2、指数样条法指数样条法则是考虑到贴现函数基本上是一个随期限增加而指数下降的函数,它是瓦西塞克( Vasicek)和弗隆戈(Fong)在1982年提出的,该方法将贴现函数用分段的指数函数来表示。同样为了保证曲线的连续性和平滑性,通常采用三阶的指数样条函数,其形式如下: 2当多项式样条函数为二阶时,B()的二阶导数是离散的,而且当阶数过高(如四阶、五阶)时,验证三阶或四阶是否连续的难度将增大

1 Nelson-Siegel 模型数据拟合与估计一、收益率曲线的拟合方法推导收益率曲线的拟合或构造模型，主要包括样条法（Splines Method）、尼尔森-辛格尔(Nelson-Siegel)模型等。下面，对这些主要收益率曲线模型进行介绍：样条法包括多项式样条法和指数样条法。 1、多项式样条法多项式样条法是由麦克库隆茨（Mc Culloch）于1971年提出的, 它的主要思想是将贴现函数用分段的多项式函数来表示。在实际应用中，多项式样条函数的阶数一般取为三，从而保证贴现函数及其一阶和二阶导数都是连续的。②于是我们用下式表示期限为t的贴现函数 B t  ：               2 3 0 0 0 0 0 2 3 1 1 1 1 2 3 2 2 2 2 , 0, , , , ,20 n m B t d c t b t a t t n B t B t d c t b t a t t n m B t d c t b t a t t m                       (1) 式中, 贴现函数 Bt() 代表在未来时间T到期，剩余时间为t的零息票债券（又称为纯贴现债券）的价格；n , m 是样条函数的节点。在本例中，贴现因子函数有12个参数。为了满足贴现函数及其导数的连续性, 下面等式也必须成立： ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) (0) 1 i i n i i n m B n B n B m B m B    (2) 上式中， ( ) () i B  是函数 B() 的第 i 阶导数（i = 0,1, 2）。利用以上约束条件，我们可以将样条函数中的参数减少到5个并取为 0 a 、 0 b 、 0 c 、 1 a 和 2 a 。将贴现函数用这些参数表示为:         2 3 0 0 0 0 2 3 3 3 0 0 0 1 2 3 3 3 3 0 0 0 1 3 2 ( ) 1 , 0, ( ) 1 ( ) ( ) , , ( ) 1 ( ) ( ) ( ) + ( ) , , n m B t c t b t a t t n B t c t b t a t t n a t n t n m B t B t c t b t a t t n a t n t m a t m t n m                                                (3) 这些参数可以通过用(2)式的贴现函数所计算的债券价格拟合市场价来确定。 2、指数样条法指数样条法则是考虑到贴现函数基本上是一个随期限增加而指数下降的函数，它是瓦西塞克（Vasicek）和弗隆戈（Fong）在1982年提出的，该方法将贴现函数用分段的指数函数来表示。同样为了保证曲线的连续性和平滑性，通常采用三阶的指数样条函数，其形式如下： ②当多项式样条函数为二阶时， Bt() 的二阶导数是离散的，而且当阶数过高（如四阶、五阶）时，验证三阶或四阶是否连续的难度将增大

2       2 3 0 0 0 0 0 2 3 1 1 1 1 2 3 2 2 2 2 ( ) , 0, ( ) ( ) , , ( ) , ,20 ut ut ut ut ut ut n ut ut ut m B t d c e b e a e t n B t B t d c e b e a e t n m B t d c e b e a e t m                                (4) 其中， u 可以看作是起息日为未来无限远期时的瞬间远期利率，可表达为 ( ) lim t u f t   。上式的约束条件与多项式样条函数相同。由于(4)式中总共有13个参数, 下面我们可以用约束条件消去其中的7个参数而得到：     2 3 0 0 0 0 2 3 3 0 0 0 3 1 ( ) 1 ( 1) ( 1) ( 1) , 0, ( ) 1 ( 1) ( 1) ( ) 1 ( ) ( ) , , ut ut ut ut ut ut ut un n ut un B t c e b e a e t n B t c e b e a e e e B t a e e t n m                                      2 3 3 0 0 0 3 3 3 1 2 ( ) 1 ( 1) ( 1) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) , ,20 ut ut ut ut un n ut un ut um ut um B t c e b e a e e e a e e e e a e e t m                                              (5) 这样我们只有6个独立的参数： 0 a ， 0 b ， 0 c ， 1 a ， 2 a 和u。与多项式样条法一样, 我们取n = 5， m =10 。 3、尼尔森-辛格尔（Nelson-Siegel）模型多项式样条法和指数样条法都是首先拟合贴现函数B(t) , 然后再根据下式求得即期利率来构造收益率曲线： ln ( ) ( ) B t R t t   （6）由于样条法的灵活度较大, 对于债券市场数据过于敏感, 这样市场价很小的变化可能会造成其中的参数的较大的变化, 这也表明这些参数完全是用于拟合数据的, 并没有什么经济意义。针对这一问题，尼尔森和辛格尔在1987 年提出了一个用参数表示的瞬时 (即期限为零的) 远期利率函数： 0 1 2 1 1 1 ( ) exp exp t t t f t                              （7）由此我们可以求得即期利率的函数形式： 0 1 1 0 1 2 1 1 1 ( ) 1 exp 1 exp ( ) exp t t t f s ds t R t t t t                                                                 （8）这个模型中只有四个参数, 即 0 1 2 1     , , , , 根据(8)式中的即期利率, 我们可以得到相应的贴现函数, 从而计算债券的模型价值用以拟合市场数据。二、利率期限结构的数据拟合债券市场上，大部分国债都是息票债券，零息票债券的数量很少，而且这些息票债券在息票率、付息时间上都存在着很大的差异，因此就必须通过一定的方法对这些息票进行