Nelson- Siegel模型数据拟合与估计 收益率曲线的拟合方法 推导收益率曲线的拟合或构造模型,主要包括样条法( Splines method)、尼尔森-辛 格尔( Nelson- Siegel)模型等。下面,对这些主要收益率曲线模型进行介绍 样条法包括多项式样条法和指数样条法 1、多项式样条法 多项式样条法是由麦克库隆茨( Mc culloch)于1971年提出的,它的主要思想是将贴现 函数用分段的多项式函数来表示。在实际应用中,多项式样条函数的阶数一般取为三,从而 保证贴现函数及其一阶和二阶导数都是连续的。②于是我们用下式表示期限为贴现函数 B(t Bo()=do+co/+b/+a/, 1E[o, B()={B2()=d1+ct+b2+ar2,∈[n,m Bm(1=d2+c,1+b2?a,1,tE[m, 20 式中,贴现函数B(1)代表在未来时间T到期,剩余时间为t的零息票债券(又称为纯贴现 债券)的价格;n,m是样条函数的节点。在本例中,贴现因子函数有12个参数。为了满足 贴现函数及其导数的连续性,下面等式也必须成立 B B B ((0 n)= B(n Bo(m) 上式中,BO()是函数B()的第i阶导数(i=0,1,2)。利用以上约束条件,我们可 以将样条函数中的参数减少到5个并取为a0、b、C、a1和a2。将贴现函数用这些参数 表示为 B()=1+c1+b2+ar3,t∈[0,n B()≈6(0)=1+c+b2+41[7-(-m+a(-m),t∈[nm B()=1+(+bx2+a[-(-n)]+a[-n)--m)] a2(t-m),t∈[Lnm 这些参数可以通过用(2)式的贴现函数所计算的债券价格拟合市场价来确定 2、指数样条法 指数样条法则是考虑到贴现函数基本上是一个随期限增加而指数下降的函数,它是瓦西 塞克( Vasicek)和弗隆戈(Fong)在1982年提出的,该方法将贴现函数用分段的指数函数 来表示。同样为了保证曲线的连续性和平滑性,通常采用三阶的指数样条函数,其形式如下: 2当多项式样条函数为二阶时,B()的二阶导数是离散的,而且当阶数过高(如四阶、五阶)时,验证三 阶或四阶是否连续的难度将增大
1 Nelson-Siegel 模型数据拟合与估计 一、收益率曲线的拟合方法 推导收益率曲线的拟合或构造模型，主要包括样条法（Splines Method）、尼尔森-辛 格尔(Nelson-Siegel)模型等。下面，对这些主要收益率曲线模型进行介绍： 样条法包括多项式样条法和指数样条法。 1、多项式样条法 多项式样条法是由麦克库隆茨（Mc Culloch）于1971年提出的, 它的主要思想是将贴现 函数用分段的多项式函数来表示。在实际应用中，多项式样条函数的阶数一般取为三，从而 保证贴现函数及其一阶和二阶导数都是连续的。②于是我们用下式表示期限为t的贴现函数 B t ： 2 3 0 0 0 0 0 2 3 1 1 1 1 2 3 2 2 2 2 , 0, , , , ,20 n m B t d c t b t a t t n B t B t d c t b t a t t n m B t d c t b t a t t m (1) 式中, 贴现函数 Bt() 代表在未来时间T到期，剩余时间为t的零息票债券（又称为纯贴现 债券）的价格；n , m 是样条函数的节点。在本例中，贴现因子函数有12个参数。为了满足 贴现函数及其导数的连续性, 下面等式也必须成立： ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) (0) 1 i i n i i n m B n B n B m B m B (2) 上式中， ( ) () i B 是函数 B() 的第 i 阶导数（i = 0,1, 2）。利用以上约束条件，我们可 以将样条函数中的参数减少到5个并取为 0 a 、 0 b 、 0 c 、 1 a 和 2 a 。将贴现函数用这些参数 表示为: 2 3 0 0 0 0 2 3 3 3 0 0 0 1 2 3 3 3 3 0 0 0 1 3 2 ( ) 1 , 0, ( ) 1 ( ) ( ) , , ( ) 1 ( ) ( ) ( ) + ( ) , , n m B t c t b t a t t n B t c t b t a t t n a t n t n m B t B t c t b t a t t n a t n t m a t m t n m (3) 这些参数可以通过用(2)式的贴现函数所计算的债券价格拟合市场价来确定。 2、指数样条法 指数样条法则是考虑到贴现函数基本上是一个随期限增加而指数下降的函数，它是瓦西 塞克（Vasicek）和弗隆戈（Fong）在1982年提出的，该方法将贴现函数用分段的指数函数 来表示。同样为了保证曲线的连续性和平滑性，通常采用三阶的指数样条函数，其形式如下： ②当多项式样条函数为二阶时， Bt() 的二阶导数是离散的，而且当阶数过高（如四阶、五阶）时，验证三 阶或四阶是否连续的难度将增大
Bo(=do+coe+be+aoe [0 B(=B,(0=d, +ce-w+be"u+ae-w, tE[n, m (4) Bm()=d2+c2e"+b2e"2u+ae 3u, IE[m,20 其中,a可以看作是起息日为未来无限远期时的瞬间远期利率,可表达为n=im/(° 上式的约束条件与多项式样条函数相同。由于(4)式中总共有13个参数,下面我们可以用约 束条件消去其中的7个参数而得到 B1()=1+cn(e"-1)+b(e2-1)+an(el-1),t∈[0n B()=1+ca(e-1)+h(e--1)+a[e-("-e")- BO={+a(e"-c"),t∈[m (5) A2O)=1+6°-)+0-1+ae-(e"-c")- +a(ew-e"m)' ),t∈[m,20 这样我们只有6个独立的参数:a,b,c,a1,a2和u。与多项式样条法一样,我们 取n=5,m=10 3、尼尔森辛格尔( Nelson- Siegel)模型 多项式样条法和指数样条法都是首先拟合贴现函数B(t),然后再根据下式求得即期利 率来构造收益率曲线: RO=-In BO) 由于样条法的灵活度较大,对于债券市场数据过于敏感,这样市场价很小的变化可能 会造成其中的参数的较大的变化,这也表明这些参数完全是用于拟合数据的,并没有什么 经济意义。针对这一问题,尼尔森和辛格尔在1987年提出了一个用参数表示的瞬时(即期 限为零的)远期利率函数: f(=Po+B, exp exp (7) 由此我们可以求得即期利率的函数形式 f(s)ds R(O =B+B1 (8) 这个模型中只有四个参数,即B0,B1,B2,x1,根据(8)式中的即期利率,我们可以得到 相应的贴现函数,从而计算债券的模型价值用以拟合市场数据 二、利率期限结构的数据拟合 债券市场上,大部分国债都是息票债券,零息票债券的数量很少,而且这些息票债券在 息票率、付息时间上都存在着很大的差异,因此就必须通过一定的方法对这些息票进行 2
2 2 3 0 0 0 0 0 2 3 1 1 1 1 2 3 2 2 2 2 ( ) , 0, ( ) ( ) , , ( ) , ,20 ut ut ut ut ut ut n ut ut ut m B t d c e b e a e t n B t B t d c e b e a e t n m B t d c e b e a e t m (4) 其中， u 可以看作是起息日为未来无限远期时的瞬间远期利率，可表达为 ( ) lim t u f t 。 上式的约束条件与多项式样条函数相同。由于(4)式中总共有13个参数, 下面我们可以用约 束条件消去其中的7个参数而得到： 2 3 0 0 0 0 2 3 3 0 0 0 3 1 ( ) 1 ( 1) ( 1) ( 1) , 0, ( ) 1 ( 1) ( 1) ( ) 1 ( ) ( ) , , ut ut ut ut ut ut ut un n ut un B t c e b e a e t n B t c e b e a e e e B t a e e t n m 2 3 3 0 0 0 3 3 3 1 2 ( ) 1 ( 1) ( 1) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) , ,20 ut ut ut ut un n ut un ut um ut um B t c e b e a e e e a e e e e a e e t m (5) 这样我们只有6个独立的参数： 0 a ， 0 b ， 0 c ， 1 a ， 2 a 和u。与多项式样条法一样, 我们 取n = 5， m =10 。 3、尼尔森-辛格尔（Nelson-Siegel） 模型 多项式样条法和指数样条法都是首先拟合贴现函数B(t) , 然后再根据下式求得即期利 率来构造收益率曲线： ln ( ) ( ) B t R t t （6） 由于样条法的灵活度较大, 对于债券市场数据过于敏感, 这样市场价很小的变化可能 会造成其中的参数的较大的变化, 这也表明这些参数完全是用于拟合数据的, 并没有什么 经济意义。针对这一问题，尼尔森和辛格尔在1987 年提出了一个用参数表示的瞬时 (即期 限为零的) 远期利率函数： 0 1 2 1 1 1 ( ) exp exp t t t f t （7） 由此我们可以求得即期利率的函数形式： 0 1 1 0 1 2 1 1 1 ( ) 1 exp 1 exp ( ) exp t t t f s ds t R t t t t （8） 这个模型中只有四个参数, 即 0 1 2 1 , , , , 根据(8)式中的即期利率, 我们可以得到 相应的贴现函数, 从而计算债券的模型价值用以拟合市场数据。 二、利率期限结构的数据拟合 债券市场上，大部分国债都是息票债券，零息票债券的数量很少，而且这些息票债券在 息票率、付息时间上都存在着很大的差异，因此就必须通过一定的方法对这些息票进行
剥离和分析,一般有两种方法可以选择,一是线性条件下的息票剥离法,二是非线性条件下 的样条估计法 得出零息票收益率曲线,通常的方法是所谓的息票剥离法( bootstrap method)。息票剥离 法将息票从债券中进行剥离并在此基础上估计无息票债券利率水平,具体计算方法如下: 设Tn为某债券的到期期限,Jn表示现金流:F表示债券的面值;P表示债券全价:即期 利率Sn,根据债券定价公式: 2e9+l2e-3+…+(n+F)e=P 从而得到: I+F Tn 结合2005年7月1日的交易所国债价格数据和 Nelson- Siegel模型,运用非线性最优 化算法,采用 Matlab软件估计得到的参数分别为:B=3.9085月=3.2874,B2=2.5628: 三个参数的变化分别看作是即期利率曲线截距、斜率和曲度的变化。因此,B,月,B2的不 同取值就能够灵活地估计出各种形态的利率期限结构,如向上倾斜、向下倾斜、“S”型、U 型、倒“U”型等。这也再次说明了 Nelson- -Siegel模型的优点所在。根据这些参数就得到 了2005年7月1日的利率期限结构。图1描述了该日的利率期限结构估计,其基本形态是 一条向上倾斜的曲线。 图1:利率期限结构 用同样的方法对样本内所有时点的数据进行估计,就可以得到每个时点的利率期限结构。 图用三维图的形式给出了全部的估计结果。图中我们可以很清晰看到在样本期间内利率期限 结构曲线的截距、斜率和曲度都在发生明显的变化。对2005年7月至2006年10月的周数 据进行估计,估计结果如图2
3 剥离和分析，一般有两种方法可以选择，一是线性条件下的息票剥离法，二是非线性条件下 的样条估计法。 得出零息票收益率曲线，通常的方法是所谓的息票剥离法(bootstrap method)。息票剥离 法将息票从债券中进行剥离并在此基础上估计无息票债券利率水平，具体计算方法如下： 设 T n 为某债券的到期期限， n I 表示现金流；F表示债券的面值；P表示债券全价；即期 利率 n S ，根据债券定价公式： 1 1 2 2 1 2 ( ) n n S T S T S T n I e I e I F e P （9 从而得到： 1 1 ln i i n S T i i n n n P I e I F S T （10） 结合 2005 年 7 月 1 日的交易所国债价格数据和 Nelson-Siegel 模型，运用非线性最优 化算法，采用 Matlab 软件估计得到的参数分别为： 0 =3.9085 1 =-3.2874， 2 =2.5628； 三个参数的变化分别看作是即期利率曲线截距、斜率和曲度的变化。因此， 0 1 2 , , 的不 同取值就能够灵活地估计出各种形态的利率期限结构，如向上倾斜、向下倾斜、“S”型、U 型、倒“U”型等。这也再次说明了 Nelson-Siegel 模型的优点所在。根据这些参数就得到 了 2005 年 7 月 1 日的利率期限结构。图 1 描述了该日的利率期限结构估计，其基本形态是 一条向上倾斜的曲线。 图 1：利率期限结构 用同样的方法对样本内所有时点的数据进行估计，就可以得到每个时点的利率期限结构。 图用三维图的形式给出了全部的估计结果。图中我们可以很清晰看到在样本期间内利率期限 结构曲线的截距、斜率和曲度都在发生明显的变化。对 2005 年 7 月至 2006 年 10 月的周数 据进行估计，估计结果如图 2
图2:利率期限结构的非平行移动
4 图 2：利率期限结构的非平行移动
