复旦大学：《投资学原理 Investments》课程教学资源（投资试验）Black-Scholes 期权定价试验

Black- Scholes期权定价试 Black- Scholes期权定价模型 Black- Scholes微分方程的推导思路和二叉树模型中的风险中性定价完全一致。因此 我们首先要刻画股票和期权的价格行为,通常,股票价格行为模型用几何布朗运动来描述: dt 其中,第一项为随机漂移项,d服从维纳过程,满足d=E√M。而￡服从标准正态 分布。对于一个很短的时间间隔Δt,由于对数收益率r近似等于百分比收益率一,我们 可以得到: S 但对于一个较长的时间间隔而言,则上式不再成立。利用伊藤引理的基本结论,我们 可以求出 -)d+a r=dInS=(u 2 从而,对于时间间隔T-t,股票的对数价格变动(或对数收益率)服从正态分布 =InSr -InS,2 )(T-1,o√T (3) 而股票的价格变动则服从对数正态分布 E(S,)=Se Var(S)=Seu(-[e-o)-1 假定期权价格假设为f,对于看涨期权f=C,对于看跌期权f=P,而期权的价格行为则 可以通过伊藤引理获得: df uS f,1 +-σ2S Ddt+ Sds at 2 对于看涨期权,构建无风险资产组合V=9S-f,即由份股票多头和一份看涨 aS 期权空头组成。这样,d=( af 1 ^20Sas2t,从而与在无关。而在套利均衡条件 下,d=r。于是,可以得到B-S微分方程: 果随机变量ⅹ满足 xu)t+bxu)d,而=(x1),则有=(了af16!b)la

1 Black-Scholes 期权定价试验 一、Black-Scholes 期权定价模型 Black-Scholes 微分方程的推导思路和二叉树模型中的风险中性定价完全一致。因此， 我们首先要刻画股票和期权的价格行为，通常，股票价格行为模型用几何布朗运动来描述： dS dt dz S     (1） 其中，第一项为随机漂移项，dz 服从维纳过程，满足 dz   t 。而 服从标准正态 分布。对于一个很短的时间间隔 t ，由于对数收益率 r 近似等于百分比收益率 dS S ，我们 可以得到： 0 0 t r u t t t S S e S e        (2) 但对于一个较长的时间间隔而言，则上式不再成立。利用伊藤引理的基本结论1，我们 可以求出： 2 ln ( ) 2 r d S dt dz        从而，对于时间间隔 T t  ，股票的对数价格变动（或对数收益率）服从正态分布：       r  S  S  T  t T  t t T T t    )( ), 2 ln ln ~ ( 2 , （3） 而股票的价格变动则服从对数正态分布： ( ) ( ) T t E S S e T t    ， 2 2 2 ( ) ( ) ( ) [ 1] T t T t Var S S e e T       假定期权价格假设为 f，对于看涨期权 f=C，对于看跌期权 f=P，而期权的价格行为则 可以通过伊藤引理获得： 2 2 2 2 1 ( ) 2 f f f f df S S dt Sdz S t S S                (4) 对于看涨期权，构建无风险资产组合 S f S f V     ，即由 S f   份股票多头和一份看涨 期权空头组成。这样， dt S f S t f dV ) 2 1 ( 2 2 2 2         ，从而与 dz 无关。而在套利均衡条件 下， dV r Vdt  f 。于是，可以得到 B-S 微分方程： 1 如果随机变量 x 满足 dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz，而 f=f(x,t)，则有 2 2 2 1 ( ) 2 f f f f df a b dt bdz x t x x             。 

af caf 类似的,对于看跌期权,则无风险资产组合由y份股票多头和一份看跌期权多头组成 对于股票看涨期权,求解微分方程(9.10)可以得到其定价公式 c=SN(d, )-Ye -tN( 其中: dsIn(S/x)+(r+02 /2)T-1) n(S/X)+(r-a2/2)7-1 d1-a√T 类似的,可以得到股票看跌期权的定价公式 p=e(- (-d2)-SN(-d1) (7) 、B-S期权定价求解 根据BS公式,很容易利用对期权价格进行求解。首先,介绍BS公式的 EXCEL求解过 程。在此,举例股票价格S为25元,执行价格Ⅹ为25元,无风险利率为8%,股票的波动 率为30%,期权的到期年限为0.5年。表1计算出相应的看涨期权可看跌期权的价格。 由于BS公式是关于期权定价的连续时间公式,因此容易分析期权价格的敏感性,即可 以利用BS公式求出的看涨期权的价格与看涨期权的内在价值进行比较分析,分析两者随着 股票价格变化的差异。表1列示了执行价格X为100元,无风险利率为6%,股票的波动率 为10%,,期权的到期年限为0.5年,随着股票价格S变化,看涨期权价格和内在价值的变 化情况。由表2和图1可见,当股票价格较低时,看涨期权的价格和内在价值相等。随着股 价的上涨,二者的差异逐渐增大 表1:BS公式求出的看涨看跌期权价格 运用B-S公式进行期权定价求解 当前股价 执行价格 无风险利率 到期时间(年)T 0.5 股价波动率 30% 0.294627825 d2 0.082495791

2 2 2 2 2 1 2 f f f f f r S S r f t S S           （5） 类似的，对于看跌期权，则无风险资产组合由 f S   份股票多头和一份看跌期权多头组成。 对于股票看涨期权，求解微分方程（9.10）可以得到其定价公式 ( ) 1 2 ( ) ( ) f r T t c SN d Xe N d     （6） 其中： 2 1 ln( ) ( 2)( ) f S X r T t d T t        2 2 1 ln( ) ( 2)( ) f S X r T t d d T t T t            类似的，可以得到股票看跌期权的定价公式： ( ) 2 1 ( ) ( ) f r T t p Xe N d SN d       （7） 二、B-S 期权定价求解 根据 BS 公式，很容易利用对期权价格进行求解。首先，介绍 BS 公式的 EXCEL 求解过 程。在此，举例股票价格 S 为 25 元，执行价格 X 为 25 元，无风险利率为 8%，股票的波动 率为 30%，期权的到期年限为 0.5 年。表 1 计算出相应的看涨期权可看跌期权的价格。 由于 BS 公式是关于期权定价的连续时间公式，因此容易分析期权价格的敏感性，即可 以利用 BS 公式求出的看涨期权的价格与看涨期权的内在价值进行比较分析，分析两者随着 股票价格变化的差异。表 1 列示了执行价格 X 为 100 元，无风险利率为 6%，股票的波动率 为 10%，，期权的到期年限为 0.5 年，随着股票价格 S 变化，看涨期权价格和内在价值的变 化情况。由表 2 和图 1 可见，当股票价格较低时，看涨期权的价格和内在价值相等。随着股 价的上涨，二者的差异逐渐增大。 表 1：BS 公式求出的看涨-看跌期权价格 运用 B-S 公式进行期权定价求解 当前股价 25 执行价格 25 无风险利率 8% 到期时间（年）T 0.5 股价波动率 30% d1 0.294627825 d2 0.082495791

N(d1) 0.615860834 d2) 0.532873834 看涨期权价格 2.597032043 ∈S*N(-d1)-X*exp(-r*T)米N(d2) 看跌期权价格(利用平权) 1.616768021 ∈C-S+X*exp(-r*T) 看跌期权价格(利用BS公式) 1.616768021 ∈X*exp(-r*T)*N(-d2)-S米N(d1) 表2:期权价格和内在价值的变化 看涨期看涨期权 d2N(d1)N(d2)权价格内在价值 0.06 90 100 1.03|-1.10110.15140.13540.48 0.00 0.5 0.06 91100-0.874-0.94480.1910.17240.660.00 0.10.50.06 100-0.720.79030.23590.21470.87 0.00 0.5 93 100-0.567-0.63740.28550.26191.13 0.00 100-0.415 0.31341.44 0.00 100|-0.266 0.39520.36831.81 0.00 96100-0.118 -810.53210231230.0 0.5 1000.0289-0.04180.51150.48332.71 0.00 0.5 0.06 981000.17390.10320.5690.54113.25 0.96 0.1 0.06 1000.31750.246780.62460.59753.85 1.96 0.5 1001000.45960.388910.67710.65134.502.96 1011000.60030.529630.72590.70185.20 1021000.73970.66960.77030.74825.954.96 0.1 0.5 0.06 1031000.87760.806930.80990.79016.74 0.06 104 1001.01430.943570.84480.82737.57 6.96 0.5 0.06 1051001.14961.078910.87480.85978.437.96 0.1 0.5 0.06 1061001.28371.212960.90040.88749.32 8.96

3 N(d1) 0.615860834 N(d2) 0.532873834 看涨期权价格 2.597032043 S*N(-d1)-X*exp(-r*T)*N(d2) 看跌期权价格（利用平权） 1.616768021 C-S+X*exp(-r*T) 看跌期权价格（利用 BS 公式） 1.616768021 X*exp(-r*T)*N(-d2)-S*N(d1) 表 2：期权价格和内在价值的变化 T R S X d1 d2 N(d1) N(d2) 看涨期 权价格 看涨期权 内在价值 0.1 0.5 0.06 90 100 -1.03 -1.1011 0.1514 0.1354 0.48 0.00 0.1 0.5 0.06 91 100 -0.874 -0.9448 0.191 0.1724 0.66 0.00 0.1 0.5 0.06 92 100 -0.72 -0.7903 0.2359 0.2147 0.87 0.00 0.1 0.5 0.06 93 100 -0.567 -0.6374 0.2855 0.2619 1.13 0.00 0.1 0.5 0.06 94 100 -0.415 -0.4861 0.3389 0.3134 1.44 0.00 0.1 0.5 0.06 95 100 -0.266 -0.3365 0.3952 0.3683 1.81 0.00 0.1 0.5 0.06 96 100 -0.118 -0.1884 0.4532 0.4253 2.23 0.00 0.1 0.5 0.06 97 100 0.0289 -0.0418 0.5115 0.4833 2.71 0.00 0.1 0.5 0.06 98 100 0.1739 0.1032 0.569 0.5411 3.25 0.96 0.1 0.5 0.06 99 100 0.3175 0.24678 0.6246 0.5975 3.85 1.96 0.1 0.5 0.06 100 100 0.4596 0.38891 0.6771 0.6513 4.50 2.96 0.1 0.5 0.06 101 100 0.6003 0.52963 0.7259 0.7018 5.20 3.96 0.1 0.5 0.06 102 100 0.7397 0.66896 0.7703 0.7482 5.95 4.96 0.1 0.5 0.06 103 100 0.8776 0.80693 0.8099 0.7901 6.74 5.96 0.1 0.5 0.06 104 100 1.0143 0.94357 0.8448 0.8273 7.57 6.96 0.1 0.5 0.06 105 100 1.1496 1.07891 0.8748 0.8597 8.43 7.96 0.1 0.5 0.06 106 100 1.2837 1.21296 0.9004 0.8874 9.32 8.96

看涨期权价格 看涨期权内在价值 6543 2 1234567891011121314151617 图2:看涨期权的价格和内在价值

4 图 2：看涨期权的价格和内在价值 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 看涨期权价格 看涨期权内在价值