+2 (1)lim (2)1im ln(1+3x) →01-co 3)lim(√x+Vx+√x-√x) (4)lim(√1+x+x2- x+x ); (5)lim >0) x-C (7) lim x(In(1+x)-Inx) Inx-In (8)lim (a>0) lim(x+e) lim cosx (D limn(vx-1)(x>0) ④Dimn2(%x-"vx)(x>0) n→) 解 (1)li 1+x +2 li n(1+3x) n(1+3x) (2)lim Cos x Cosx lim )(1+ (1 (3)limn(Vx+√x+√x-√x)=li x+√=1m√ X→+ Vx+Vx+√x+ (4)Iim(√1+x+x2-√1-x+x2)=lim +x+x+vi-x+x (5)lim lim a(ara-1) a x-aina x→ax-a x→a x-a 374 x-a lim e gina a aIn(1 (6)lim 1) lim (7) lim x(In(1+x)-In x)=lim x→+⑴ lim x→0 1 1 2 1 3 3 2 + − + + x x ln( x) ； ⑵ lim x→0 1 1 − − cos cos x x ； ⑶ lim x→+∞ ( xxx + + - x )； ⑷ lim x→+∞ ( 1 2 + + x x - 1 2 − + x x )； ⑸ limx→ α a a x x − − α α (a＞0)； ⑹ limx a → x a x a α α − − (a＞0)； ⑺ lim x→+∞ x ( ln (1+x) - ln x )； ⑻ limx a → ln x ln x a − a − (a＞0)； ⑼ lim x→0 ( e x ) x x + 1 ； ⑽ lim x→0 2 1 2 2 cos x x x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ； ⑾ lim n→∞ n ( x n - 1) (x＞0)； ⑿ lim n→∞ n 2 ( x n - x n+1 ) (x＞0)。 解（1）lim x→0 = + + − + ln(1 3 ) 1 1 2 3 2 x x x lim x→0 ln(1 3 ) ( 1 1) ( 1 2 1) 3 2 x x x + + − − + − 0 lim → = x = − x x x 3 3 2 2 1 2 6 1 。 （2）lim x→0 = − − x x 1 cos 1 cos lim x→0 = − + − (1 cos )(1 cos ) 1 cos x x x lim x→0 = (1+ cos ) 2 1 2 1 2 x x x 0。 （3） lim ( x→+∞ xxx + + - x ) →+∞ = x lim = + + + + x x x x x x lim x→+∞ = x x 2 2 1 。 （4） lim ( x→+∞ 1 2 + + x x - 2 1− x + x ) →+∞ = x lim = + + + − + 2 2 1 1 2 x x x x x 1。 （5）x→α lim = − − α α x a a x x→α lim = − − − α α α x a a x ( 1) x→α lim a x( )ln a x α α α − = − a lna α 。 （6）limx a → = − − x a x a α α limx a → = − − x a a e a x ( 1) α ln α limx a → x a a x a a − − α ln(1+ ) α x→a = lim = − − ⋅ x a a x a a αα α−1 αa 。 （7） lim x ( ln (1+x) - ln x ) x→+∞ = + = →+∞ x x x 1 ) 1 ln(1 lim 1。 49