61212 48 0.5 61212 11.设Ⅹ与Y是相互独立的随机变量,X服从[2]上的均匀分布,Y服从参 数为5的指数分布,求(x,y)的联合密度函数及P(x≥y)。 解.由均匀分布的定义知 fr()3 s, 其他 由指数分布的定义知 ()手5y, y 0 其他 因为X与Y独立,易得(x,)的联合密度函数 f(x,y)=fx(x)()= 0<x<0.2,y>0 其他 概率P(X≥Y)=』∫(x,y)xd 0.2 其中区域G={x,y)x≥y见图5.3,经计算有 图5.3 P(x2)=02a23b=025-e-kh e-1 12.设二维随机变量(x,Y)的联合密度函数为 ke f(x, y)= 0,y>0 其他 求:(1)系数k;(2)P0≤Xs10≤Y≤2);(3)证明X与Y相互独立 解(1)k必须满足C八(xydb=1,即ke(+)dx=1,经计算得k=12 (2)P0≤X≤10≤y≤2)=((12e-(+bx=(-e-)-e-) (3)关于X的边缘密度函数 f()=( 其他-1 6 1 12 1 12 1 0 24 1 48 1 48 1 0.5 6 1 12 1 12 1 11. 设 X 与 Y 是相互独立的随机变量，X 服从 0,0.2 上的均匀分布，Y 服从参 数为 5 的指数分布，求 (X,Y ) 的联合密度函数及 P(X  Y )。 解. 由均匀分布的定义知 f X (x) = 0, 5, 其他 0  x  0.2 由指数分布的定义知 fY (y) = 0, 5 , 5 y e − 其他 y  0 因为 X 与 Y 独立，易得 (X,Y ) 的联合密度函数 f (x, y) = f X (x)fY (y) = 0, 25 , 5 y e − 其他 0  x  0.2, y  0 概率 ( ) ( )  =  G P X Y f x, y dxdy， 其中区域 G = (x, y)| x  y 见图 5.3，经计算有 ( ) ( ) 0.2 1 0 0.2 5 0 0 5 25 51 − − − P X Y =  dx e dy =  − e dx = e x y x 。 12. 设二维随机变量 (X,Y ) 的联合密度函数为 f (x, y) = ( ) 0, , 3x 4 y ke− + 其他 x  0, y  0 求：（1）系数 k ；（2） P(0  X 1,0  Y  2) ；（3）证明 X 与 Y 相互独立。 解 （1） k 必须满足 ( )   + − + − f x, y dxdy=1 ，即 ( ) 1 0 3 4 0   = + + − + dy k e dx x y ，经计算得 k =12 ； （2） ( ) ( ) ( )( ) 2 3 8 0 1 0 3 4 0 1,0 2 12 1 1 − + − − P  X  Y  =  dy e dx = − e − e x y ； （3）关于 X 的边缘密度函数 ( ) ( )  + − f X x = f x, y dy = ( ) 0, 12 , 0 3 4 e dy x y  + − + 其他 x  0 y 0.2 x 图 5.3