其他 同理可求得Y的边缘密度函数为 6()J4 其他 易见f(x,y)=(x)1()<x<+-<y<+,因此Ⅹ与Y相互独立。 13.已知二维随机变量(x,y)的联合密度函数为 0<x<1,0<y<x 0, 其他 (1)求常数k;(2)分别求关于X及关于Y的边缘密度函数;(3)X与Y是否 独立? 解(1)k满足f(x, yydxdy=1,即4k(-x)y=1解得k=24 (2)Ⅹ的边缘密度函数 fx(x)=f(,ydy 2401-x)oh 0<x<1 其他 12x2(-x) 0<x<1 其他 Y的边缘密度函数为 f ∫240-x)yh 0<y<1 其他 12y(-y)2 0<y<1 其他 (3) 111 而fx(x) frl) 192 易见 1616 1((小,因此x与Y不相互独立。 14.设随机变量ⅹ与Y的联合分布律为 XY0 1= 0, 3 , 3x e − 其他 x  0 同理可求得 Y 的边缘密度函数为 fY (y) = 0, 4 , 4 y e − 其他 x  0 易见 f (x, y) = f X (x)fY (y),−  x  +,−  y  + ，因此 X 与 Y 相互独立。 13. 已知二维随机变量 (X,Y ) 的联合密度函数为 f (x, y) = ( ) 0, k 1− x y, 其他 0  x 1,0  y  x （1）求常数 k ；（2）分别求关于 X 及关于 Y 的边缘密度函数；（3）X 与 Y 是否 独立？ 解 （1） k 满足 ( )   + − + − f x, y dxdy=1 ，即 ( )   − = 1 0 0 1 1 x dx k x ydy 解得 k = 24 ； （2）X 的边缘密度函数 ( ) ( )  + − f X x = f x, y dy = ( ) 0, 24 1 , 0 x ydy x  − 其他 0  x 1 = ( ) 0, 12 1 , 2 x − x 其他 0  x 1 Y 的边缘密度函数为 fY (y) = ( ) 0, 24 1 , 1  − y x ydx 其他 0  y 1 = ( ) 0, 12 1 , 2 y − y 其他 0  y 1 （ 3 ） 3 1 4 1 2 1 24 4 1 , 2 1  =   =      f ， 而 ( ) ( ) 16 27 16 9 4 1 , 12 2 3 2 1 4 1 f X x =12   = fY y =   = ，易见                    4 1 2 1 4 1 , 2 1 X Y f f f ，因此 X 与 Y 不相互独立。 14. 设随机变量 X 与 Y 的联合分布律为 X\Y 0 1 0 25 2 b