9.设A是数域K上的n阶矩阵,如果存在非负整数m使得Am=O,则称A是幂零矩阵,并把满 足Am=O的最小非负整数m称为A的幂零指数 1.当m=n时,写出与A相似的若尔当标准形 2.如果n阶复矩阵A满足T(44=O)k=1,2.…n,则A一定是幂零矩阵 3.如果n阶复矩阵A,B,C满足AB=BA=C,且A,C可交换,则C一定是幂零矩阵 30.A,B是n阶矩阵,,且AB=BA,若A有r个互不相同的特征值,则A,B至少有r个公共 且线性无关的特征向量 31.证明:n阶复方阵A可对角化的充要条件是:对任意n维列向量X,若(ME-A)2X=0,则必 有(A0E-4)X=0.其中E是n阶单位矩阵,A0∈C 32.设Rnxn是实数域上所有n阶方阵构成的线性空间,x是该空间上的线性变换,且a(M)= M2,M∈Rnxn 1.求a的特征值,特征向量和 Jordan标准形 2.证明:a能分解为n2个秩为1的幂等变换a的代数和,且当i≠j时,=O 3.证明:在复数域内任意n阶方阵均可表示成两个对称矩阵的乘积,且其中必有一个可逆矩阵 34.一个复方阵T称为是幂零的,说明存在正整数m,使得Tm=0,设T为n阶复方阵,证明T为 幂零阵当且仅当T的特征多项式 5.设n阶复方阵A的所有特征值为A1,A2,…,,m为正整数.证明Am的所有特征值为 36.矩阵 110 和矩阵 001 020 100 是否相似,证之29.  A ¥ÍçK ˛ n › ßXJ3öKÍ m ¶ Am = O, K° A ¥ò"› , ør˜ v Am = O ÅöKÍ m °è A ò"çÍ. 1.  m = n û, —Ü A ÉqeIO/. 2. XJ n E› A ˜v Tr ￾ Ak = O
k = 1, 2, · · · n, K A ò½¥ò"› . 3. XJ n E› A, B, C ˜v AB = BA = C, Ö A, C åÜ, K C ò½¥ò"› . 30. A, B ¥ n › , , Ö AB = BA, e A k r ápÿÉ”Aä, K A, B ñk r á˙
ÖÇ5Ã'Aï˛. 31. y²: n Eê A åÈzøá^á¥: È?ø n ëï˛ X, e (λ0E − A) 2 X = 0, K7 k (λ0E − A) X = 0. Ÿ• E ¥ n ¸†› , λ0 ∈ C . 32.  R n×n ¥¢Í粧k n ê §Ç5òm, A ¥Tòm˛Ç5CÜ, Ö A (M) = M2 , M ∈ R n×n . 1. ¶ A Aä, Aï˛⁄Jordan IO/. 2. y²: A U©)è n 2 áùè1 òCÜ Ai ìÍ⁄, Ö i 6= j û, AiAj = O . 33. y²: 3EÍçS?ø n ê ˛åL´§¸áÈ°› ¶», ÖŸ•7kòáå_› . 34. òáEê T °è¥ò"ß`²3Í m, ¶ T m = 0,  T è n Eê , y² T è ò" Ö= T Aıë™ χT (x) = x n 35.  n Eê A §kAäè λ1, λ2, · · · , λr, m èÍ. y² Am §kAäè λ m 1 , λm 2 , · · · , λm r 36. ›   1 1 0 1 0 1 0 1 1   ⁄›   0 0 1 0 2 0 1 0 0   ¥ƒÉq, yÉ. 11 厦门大学《高等代数》