17.设A,B为n阶复方阵,证明:AB+A与BA+A有相同的特征值,且每个特征值的重数相同 18.(10分)数域P上一个n阶方阵A称为幂零的,如果存在自然数m使得Am=0.设A=(a)nxn为 一个幂零方阵,且a12≠0,a13=0,a2=0,a23≠0.证明:不存在矩阵B使得Bn-1=A 19.证明对任意的2级复方阵A,B,C都有 A(BC-CB)2-(BC-CB)2A=0 0.(10分)设n级矩阵A=(a)n是一个幂零矩阵,且a12≠0,a13=1,22=0,a23≠0,证明不存在矩阵B 使得Bn-1=A 21.(15分)已知A,B都是n阶复矩阵,若 与 相似,证明:存在矩阵X,使得AX O A2) 22.(10分)设A,B为n阶复方阵,且AB-BA=A (1)求证tr(4)=0 (2)如果n=2,求证A2=0 3.设A,B分别为3×2,2×3实矩阵,且 AB 求证:BA与矩阵 在复数域上相似,进一步问BA与矩阵 0-6 在实数域上相似吗? 1-1 4.求证:任一复矩阵A均可分解为A=B+C,其中C为幂零阵即有正整数k,使C=0),B相似 于对角形,且BC=CB 25.设A是各阶顺序主子式均不为零的n阶矩阵,证明:存在下三角矩阵B与上三角矩阵C,使 A= BC 26.求证;任一复矩阵A均可分解为A=B+C,其中C为幂零阵(即有正整数k,使Ck=0),B相似于 对角形,且BC=CB 7.如果数域K上n阶矩阵A满足A3=A,则r(4)+r(I+4)+r(I-4)=2n.试求出这个矩阵的 相似标准形,其中r(A)=r,r(I+A)=s 28.令A,B,X是复数域上的n阶矩阵,如果矩阵A,B有相同的特征矩阵,则一定存在非零的矩阵X 使得AX=XB,且对任意复数域上多项式f(x)都有f(A)X=Xf(B)17.  A, B è n Eê , y²: AB + A Ü BA + A kÉ”Aä, ÖzáAä­ÍÉ”. 18. (10 ©) ÍçP ˛òán ê A °èò", XJ3g,Ím ¶Am = 0. A = (aij )n×n è òáò"ê , Ö a12 6= 0, a13 = 0, a22 = 0, a23 6= 0. y²: ÿ3› B ¶ Bn−1 = A . 19. y²È?ø2 ?Eê A, B, C —k A(BC − CB) 2 − (BC − CB) 2A = 0. 20. (10 ©) n ?› A = (aij )nn ¥òáò"› , Öa12 6= 0, a13 = 1, a22 = 0, a23 6= 0, y²ÿ3› B ¶ Bn−1 = A . 21. (15 ©) ÆA, B —¥n E› , e A1 O O A2 ! Ü A1 B O A2 ! Éq, y²: 3› X, ¶ AX− XA = B . 22. (10 ©) A, B èn Eê , ÖAB − BA = A . (1) ¶y tr(A) = 0 . (2) XJ n = 2, ¶y A2 = 0 . 23.  A, B ©Oè 3 × 2, 2 × 3 ¢› , Ö AB =     1 1 1 −2 0 −6 0 1 −2     ¶y: BA Ü› " 0 −6 1 −1 # 3EÍç˛Éq, ?ò⁄Ø BA Ü› " 0 −6 1 −1 # 3¢Íç˛ÉqÌ? 24. ¶y: ?òE› A ˛å©)è A = B + C, Ÿ•C èò" (=kÍk, ¶C k = 0
, B Éq uÈ/, Ö BC = CB . 25.  A ¥à^SÃf™˛ÿè" n › , y²: 3en› B ܲn› C, ¶ A = BC . 26. ¶y; ?òE› A ˛å©)èA = B + C, Ÿ•C èò" (=kÍk, ¶C k = 0
, B Équ È/, Ö BC = CB . 27. XJÍçK ˛ n › A ˜v A3 = A, K r(A) + r(I + A) + r(I − A) = 2n. £¶—˘á›  ÉqIO/ߟ• r(A) = r, r(I + A) = s . 28. - A, B, X ¥EÍç˛ n › , XJ› A, B kÉ”A› , Kò½3ö"› X ¶ AX = XB, ÖÈ?øEÍç˛ıë™ f(x) —k f(A)X = Xf(B) . 10 厦门大学《高等代数》