5.利用若尔当标准形定理证明:对任意的n阶复方阵A一定存在一个正整数r满足 rank(A)=rank(Ar+) 并求这样的最小正整数r.(2017年华中科技大学) 6.设A为任意复方阵。证明:存在与对角矩阵相似的方阵S以及幂零方阵N使得A=S+N并 且SN=NS 7.已知A,B是两个n级有理数矩阵(即矩阵的元素都是有理数).假设存在n级复数矩阵C使得 -1AC=B,求证存在n级有理数矩阵D使得D-1AD=B 8.(20分)设A为n级可逆复矩阵.求证存在B使得A=B3. 9.设A1,12…,A是n级方阵A的n个特征值,体k=ⅡA,k=1,2,…,n,证明 41,p2,…,μn是A的伴随矩阵A·的n个特征值 10.设A,B为n级矩阵满足A2+A=2E,B2=B且AB=BA,证明:存在可矩阵Q使得Q-1AQ 和Q-1BQ都是对角矩阵 11.设A,B为复数域上的n级矩阵,且A和B无公共特征根,证明:关于X的矩阵方程AX=XB 只有零解 12.证明:任一n级方阵和它的转置矩阵相似. 13.设A是n级实矩阵满足A2=2A+3En证明 (1)A相似于一个对角矩阵 (2)A+2En是可逆矩阵 14.设为n级实矩阵A=(a1)的一个实特征值.证明:存在正整数k(1≤k≤n)使得 -ak|≤∑|akl 15设A是复数域上的n阶方阵,A=0.且A-1≠0 (1)若A是A的一个特征值,其对应的特征子空间认={aAa=Aa,a是复向量},证明:W的 维数是1; (2)是否存在一个复矩阵B,使得B2=A?请说明理由 16.设A,B为n阶复方阵,C=AB-BA,若AC=CA,则C为幂零矩阵5. |^eIO/½ny²: È?ø n Eê A ò½3òáÍ r ˜v rank (A r ) = rank ￾ A r+1
ø¶˘ÅÍ r . (2017cu•âEåÆ) 6.  A è?øEê "y²: 3ÜÈ› Éqê S ±9ò"ê N ¶ A = S + N ø Ö SN = NS . 7. Æ A, B ¥¸á n ?knÍ› (=› É—¥knÍ). b3 n ?EÍ› C ¶ C −1AC = B, ¶y3 n ?knÍ› D ¶ D−1AD = B . 8. (20 ©) A èn ?å_E› . ¶y3B ¶A = B3 . 9.  λ1, λ2, . . . , λn ¥ n ?ê A  n áAä, µk = Qn i = 1 i 6= k λi , k = 1, 2, · · · , n . y²: µ1, µ2, · · · , µn ¥ A äë› A∗  n áAä. 10.  A, B è n ?› ˜v A2 + A = 2E, B2 = B Ö AB = BA , y²: 3å› Q ¶ Q−1AQ ⁄ Q−1BQ —¥È› . 11.  A, B èEÍç˛ n ?› , Ö A ⁄ B Ã˙
Aä, y²: 'u X › êß AX = XB êk"). 12. y²: ?ò n ?ê ⁄ß=ò› Éq. 13.  A ¥ n ?¢› ˜v A2 = 2A + 3En. y²: (1) A ÉquòáÈ› ; (2) A + 2En ¥å_› . 14.  λ è n ?¢› A = (aij ) òá¢Aä. y²: 3Í k(1 6 k 6 n) ¶ |λ − akk| 6 X j6=k |akj | . 15.  A ¥EÍç˛ n ê , An = 0, Ö An−1 6= 0 . (1) e λ ¥ A òáAä, ŸÈAAfòm Vλ = {α|Aα = λα, α ¥Eï˛}, y²: Vλ  ëÍ¥1; (2) ¥ƒ3òáE› B ߶ B2 = A? û`²nd. 16.  A, B è n Eê , C = AB − BA, e AC = CA, K C èò"› . 9 厦门大学《高等代数》