40.设矩阵的特征多项式及最小多项式分别为 f(X)=(X+1)2(-1)(-2) m()=(A+1)(A-1)(A-2) 分别求出A的行列式因子,不变因子,初等因子及 Jordan标准型.(2012年湘潭大学) 入-1AA2-1 41.求-矩阵3A-1x2+23x2-1|的smth标准型.(2010年中科大) 42.求1xx2的初等因子组.(2011年中科大) 43.已知复方阵A的特征方阵A-A的初等因子组为 A,A+1,x2,A2,(-1)2,(X-1)3}, 求A的最小多项式以及r(A),tr(4)、(2012年中科大) 四证明题 1.证明:A-矩阵A(A)可逆的充要条件是其行列式4()是一个非零常数.(2010年北京交通大学) 2.证明:n阶方阵A为数量矩阵,当且仅当E-A的n-1阶行列式因子的次数为n-1.(2013年北京交通 大学) 3.(1)设A和B均为n阶复方阵,证明:A与B相似当且仅当作为-矩阵,,有AE-A等价 于AE一B. (2)设A,B都是3阶幂零矩阵,证明:A相似于B当且仅当A与B有相同的极小多项式.(3) 试说明上述结论(2)对4阶幂零矩阵是否成立,为什么?(2010年华中科技大学) 4.设n为正整数,1≤k,l≤n a1,a2 ak-1 akLI 是不全为0的复数, 也是n-1个不全零的复数.设E为n阶单位矩阵.把E的第k行用行向量(a1 代替得矩阵A;把E的第l列用列向量(b,…,b-1,1,b+1…,bn)2来代替得矩阵B (1)求A,B的若当标准形 (2)证明:作为复矩阵A与B是相似的40. › Aıë™9Åı뙩Oè f(λ) = (λ + 1)2 (λ − 1)(λ − 2), m(λ) = (λ + 1)(λ − 1)(λ − 2). ©O¶—A1™œfßÿCœfß–œf9JordanIO.. (2012câåÆ) 41. ¶λ− ›   λ − 1 λ λ2 − 1 3λ − 1 λ 2 + 2λ 3λ 2 − 1 λ + 1 λ 2 λ 2 + 1   SmithIO.. (2010c•âå) 42. ¶   1 1 1 1 λ λ2 1 λ 2 λ 4   –œf|. (2011c•âå) 43. ÆEê AAê λI − A –œf|è {λ, λ + 1, λ2 , λ2 ,(λ − 1)2 ,(λ − 1)3 }, ¶AÅıë™±9r(A), tr(A) .(2012c•âå) o.y²K 1. y²: λ−› A(λ)å_øá^ᥟ1™|A(λ)|¥òáö"~Í. (2010cÆœåÆ) 2. y²: nê AèͲ› , Ö=λE − An − 11™œfgÍèn − 1. (2013cÆœ åÆ) 3. (1)  A ⁄ B ˛è n Eê , y²: A Ü B ÉqÖ=äè λ -› , , k λE − A d u λE − B. (2)  A, B —¥3 ò"› , y²: A Équ B Ö.= A Ü B kÉ”4ıë™. (3) £`²˛„(ÿ(2) È4 ò"› ¥ƒ§·, èüo? (2010cu•âEåÆ) 4.  n èÍ, 1 6 k, l 6 n . a1, a2, · · · , ak−1, ak+1, · · · , an ¥ÿè0 EÍ, b1, b2, · · · , bl−1, bl+1, · · · , bn è¥ n−1 áÿ"EÍ.  E è n ¸†› . r E 1 k 1^1ï˛ (a1, · · · , ak−1, 1, ak+1, · · · , an) ìO› A; r E 1 l ^ï˛ (b1, · · · , bl−1, 1, bl+1, · · · , bn) T 5ìO› B . (1) ¶ A, B eIO/. (2) y²: äèE› A Ü B ¥Éq. 8 厦门大学《高等代数》