第10期 王树和等：能力谱与侧向荷载分布模式的关系 ,1219. 同时将弹性设计反应谱也转化为Sa一S:曲线，即需 程函数，1为单位列向量 求谱曲线；将上述能力谱曲线与需求谱曲线画在同 对于一般中低层结构，地震反应中各层侧移形 一坐标系中，通过迭代计算求出两曲线的交点，即性 状以第1振型为主，为此可近似认为： 能点，根据该点坐标可求出原结构的位移反应， u=P1x (2) 在ATC40给出的方法中，需求谱是由等效高 式中，P1为结构第1振型向量，顶层分量取1；x1为 阻尼弹性反应谱得出的，用等效阻尼考虑结构的非 顶层位移 线性特性，经研究发现，在迭代计算求交点的过程 将式(2)代入式(1)，有： 中，有可能无解或多解.Fajfar可和Chopra等] MO+Cf (x)=-Mliia(t)(3) 均指出在能力谱方法中采用弹塑性反应谱比采用等 令 效弹性反应谱具有更明确的概念和更准确的计算结 MP1 果，通过建立单自由度体系强度折减系数R:与延 明n4=音 (4) 性系数“、自振周期T的关系，以弹性反应谱为基 础来建立弹塑性反应谱是重要的方法之一门.国内 D=M MO 为结构第1振型参与系数 外许多学者对弹塑性反应谱进行了研究，提出了不 同的一H一T关系式[8].吕西林等[]结合我国 将式(3)前乘φ1，并将式(4)代入式(3)，有： 现行抗震规范中关于场地类别和设计分组的规定， Me花e十Cete+fe=一Meig(t) (5) 提出了适合我国抗震规范的弹塑性反应谱. 式中，M。、Ce和f。分别为等效SDOF体系的等效 在进行Pushover分析时，一个重要的问题是选 质量、等效阻尼和等效恢复力，用下式表示： 择侧向荷载的分布方式，侧向荷载的分布是反应侧 M。=φMl (6) 向惯性力的相对大小的，而在一次地震反应过程中， MI 侧向惯性力的分布是随着结构各部位不断进入塑性 C。=0iC91pMm1 (7) 而在不断变化的，不论用何种分布方式，都将使得和 f。=pif.(t) (8) 该加载方式相似的振型作用得到加强，而其他振型 式(5)为原结构的等效单自由度体系(ESDOF)· 的作用则被削弱，所以，任何一种荷载分布方式都 只能近似反映地震作用下结构的变形及内力要求， 2能力谱曲线的确定 FEMA3561o规定通过选取多种侧向荷载分布形 能力谱方法即是通过求解式(5)，进而求得原结 式分别进行分析，以模拟实际惯性力的变化，确定地 构地震反应，下面给出求能力谱曲线的步骤， 震反应的可能的变化范围， (l)首先对原结构进行Pushover分析，获得基 在目前的能力谱或改进的能力谱方法中，能力 底剪力一顶部位移关系曲线，在静力弹塑性分析中， 谱曲线的确定是不随侧向荷载分布模式的不同而变 对各楼层施加的侧向水平荷载比例在加载过程中保 化的，本文从等效单自由度体系的建立出发，证明 持不变，到目前为止已提出多种比例关系，或称为加 能力谱曲线的确定与侧向荷载分布模式间存在对应 载模式，如惯性分布、均匀分布、倒三角分布和曲线 关系，对于不同的侧向荷载模式，应采用不同的能力 分布.对于惯性分布，有： 谱曲线转化公式并给出了具体的表达式，最后，以 S=MP (9) 多层钢筋混凝土框架结构为例，证明了本文方法的 式中，S为各层施加水平荷载列向量，按照式(9)对 正确性 原结构进行Pushover分析，即可得到基底剪力一顶 1由多自由度(MDOF)到等效单自由度体 点位移关系V。一xt曲线，该曲线称为能力曲线 系(ESDOF)的转化 (2)将V,一x1关系曲线理想化为二折线，根据 耗能相等原理，V。一x1关系曲线和二折线与横坐标 多层建筑结构在罕遇地震作用下非线性动力方 所围面积相等，据此可求出二折线中转折点的坐标， 程为： 此点即为原结构名义屈服点(Vby,xy) Mii+cutf,(u)=-Mliig(t) (1) (3)将Vb一x:关系转化为ESDOF体系的能 式中，M、C为结构质量和阻尼矩阵，u、ia和i分别 力谱曲线，由式(9)得： 为各楼层水平位移、速度和加速度列向量，∫，()为 MPi V f:=T (10) 各楼层所受恢复力列向量，(t)为地面加速度时 2M:91:同时将弹性设计反应谱也转化为Sa—Sd 曲线‚即需 求谱曲线；将上述能力谱曲线与需求谱曲线画在同 一坐标系中‚通过迭代计算求出两曲线的交点‚即性 能点‚根据该点坐标可求出原结构的位移反应． 在 ATC—40给出的方法中‚需求谱是由等效高 阻尼弹性反应谱得出的‚用等效阻尼考虑结构的非 线性特性．经研究发现‚在迭代计算求交点的过程 中‚有可能无解或多解［4］．Fajfar ［5］ 和 Chopra 等［6］ 均指出在能力谱方法中采用弹塑性反应谱比采用等 效弹性反应谱具有更明确的概念和更准确的计算结 果．通过建立单自由度体系强度折减系数 Rμ 与延 性系数μ、自振周期 T 的关系‚以弹性反应谱为基 础来建立弹塑性反应谱是重要的方法之一［7］．国内 外许多学者对弹塑性反应谱进行了研究‚提出了不 同的 Rμ—μ— T 关系式［8］．吕西林等［9］ 结合我国 现行抗震规范中关于场地类别和设计分组的规定‚ 提出了适合我国抗震规范的弹塑性反应谱． 在进行 Pushover 分析时‚一个重要的问题是选 择侧向荷载的分布方式．侧向荷载的分布是反应侧 向惯性力的相对大小的‚而在一次地震反应过程中‚ 侧向惯性力的分布是随着结构各部位不断进入塑性 而在不断变化的‚不论用何种分布方式‚都将使得和 该加载方式相似的振型作用得到加强‚而其他振型 的作用则被削弱．所以‚任何一种荷载分布方式都 只能近似反映地震作用下结构的变形及内力要求． FEMA—356［10］规定通过选取多种侧向荷载分布形 式分别进行分析‚以模拟实际惯性力的变化‚确定地 震反应的可能的变化范围． 在目前的能力谱或改进的能力谱方法中‚能力 谱曲线的确定是不随侧向荷载分布模式的不同而变 化的．本文从等效单自由度体系的建立出发‚证明 能力谱曲线的确定与侧向荷载分布模式间存在对应 关系‚对于不同的侧向荷载模式‚应采用不同的能力 谱曲线转化公式并给出了具体的表达式．最后‚以 多层钢筋混凝土框架结构为例‚证明了本文方法的 正确性． 1 由多自由度（MDOF）到等效单自由度体 系（ESDOF）的转化 多层建筑结构在罕遇地震作用下非线性动力方 程为： M u ··＋C u ·＋ fs（ u）＝— Mlu ·· g（ t） （1） 式中‚M、C 为结构质量和阻尼矩阵‚u、u ·和 u ··分别 为各楼层水平位移、速度和加速度列向量‚fs（ u）为 各楼层所受恢复力列向量‚u ·· g （ t）为地面加速度时 程函数‚l 为单位列向量． 对于一般中低层结构‚地震反应中各层侧移形 状以第1振型为主‚为此可近似认为： u＝φ1xt （2） 式中‚φ1 为结构第1振型向量‚顶层分量取1；xt 为 顶层位移． 将式（2）代入式（1）‚有： Mφ1x ·· t＋Cφ1x · t＋ fs（ xt）＝— Mlu ·· g（ t） （3） 令 xe＝ φ T 1 Mφ1 φ T 1 Ml xt＝ xt Γ1 （4） Γ1＝ φ T 1 Ml φ T 1 Mφ1 为结构第1振型参与系数． 将式（3）前乘 φ T 1‚并将式（4）代入式（3）‚有： Me x ·· e＋Ce x · e＋ f e＝— Me u ·· g（ t） （5） 式中‚Me、Ce 和 f e 分别为等效 SDOF 体系的等效 质量、等效阻尼和等效恢复力‚用下式表示： Me＝φ T 1 Ml （6） Ce＝φ T 1 Cφ1 φ T 1 Ml φ T 1 Mφ1 （7） f e＝φ T 1 fs（ t） （8） 式（5）为原结构的等效单自由度体系（ESDOF）． 2 能力谱曲线的确定 能力谱方法即是通过求解式（5）‚进而求得原结 构地震反应．下面给出求能力谱曲线的步骤． （1） 首先对原结构进行 Pushover 分析‚获得基 底剪力—顶部位移关系曲线‚在静力弹塑性分析中‚ 对各楼层施加的侧向水平荷载比例在加载过程中保 持不变‚到目前为止已提出多种比例关系‚或称为加 载模式‚如惯性分布、均匀分布、倒三角分布和曲线 分布．对于惯性分布‚有： S＝ Mφ1 （9） 式中‚S 为各层施加水平荷载列向量．按照式（9）对 原结构进行 Pushover 分析‚即可得到基底剪力—顶 点位移关系 V b— xt 曲线‚该曲线称为能力曲线． （2） 将 V b— xt 关系曲线理想化为二折线‚根据 耗能相等原理‚V b— xt 关系曲线和二折线与横坐标 所围面积相等‚据此可求出二折线中转折点的坐标‚ 此点即为原结构名义屈服点（ V b y‚xt y）． （3） 将 V b— xt 关系转化为 ESDOF 体系的能 力谱曲线．由式（9）得： f i＝ Miφ1i ∑Miφ1i V b （10） 第10期 王树和等： 能力谱与侧向荷载分布模式的关系 ·1219·