2003年考研数学(三)真题评注 、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) X Cos 若x≠0, (1)设∫(x)= 其导函数在ⅹ=0处连续,则λ的取值范围是A>2 0, 0, 【分析】当x≠0可直接按公式求导,当x=0时要求用定义求导 【详解】当λ>1时,有 f(x) 显然当>2时,有lnf(x)=0=f'(0),即其导函数在x=0处连续 【评注】原题见《考研数学大串讲》P21【例5】(此考题是例5的特殊情形 (2)已知曲线y=x3-3a2x+b与x轴相切,则b2可以通过a表示为b2=4a 【分析】曲线在切点的斜率为0,即y=0,由此可确定切点的坐标应满足的条件, 再根据在切点处纵坐标为零,即可找到b2与a的关系 【详解】由题设,在切点处有 y=3x2-3a2=0,有 又在此点y坐标为0,于是有 0=x-3a2x+b=0 【评注】有关切线问题应注意斜率所满足的条件,同时切点还应满足曲线方程 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学四P36第一大题第(3)小题 (3)设a0,f(x)=g(x)= a若05x51而D表示全平面,则 o.其他, 1=f(x)g(y-x)dxdy=a 【分析】本题积分区域为全平面,但只有当0≤x≤10≤y-x≤1时,被积函数才不 为零,因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可 【详解】=( f(x)g(-xdxdy a"dxdy 0≤xs1,0≤y-x≤l ∫"=a[(x+1)-x1 2003 年考研数学（三）真题评注 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）设 0, 0, 0, , 1 cos ( ) =      = x x x x f x 若  若 其导函数在 x=0 处连续，则  的取值范围是   2 . 【分析】 当 x  0 可直接按公式求导，当 x=0 时要求用定义求导. 【详解】 当  1 时，有 0, 0, 0, , 1 sin 1 cos ( ) 1 2 =      +  = − − x x x x x x f x 若    若 显然当   2 时，有 lim ( ) 0 (0) 0 f x f x  = =  → ，即其导函数在 x=0 处连续. 【评注】 原题见《考研数学大串讲》P.21【例 5】（此考题是例 5 的特殊情形）. （2）已知曲线 y = x − a x + b 3 2 3 与 x 轴相切，则 2 b 可以通过 a 表示为 = 2 b 6 4a . 【分析】 曲线在切点的斜率为 0，即 y  = 0 ，由此可确定切点的坐标应满足的条件， 再根据在切点处纵坐标为零，即可找到 2 b 与 a 的关系. 【详解】 由题设，在切点处有 3 3 0 2 2 y  = x − a = ，有 . 2 2 x0 = a 又在此点 y 坐标为 0，于是有 0 3 0 0 3 2 = x0 − a x + b = , 故 (3 ) 4 4 . 2 2 2 4 6 0 2 2 0 2 b = x a − x = a  a = a 【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学四 P.36 第一大题第（3）小题. （ 3 ） 设 a>0 ， ， a x f x g x 其他 若0 1, 0, , ( ) ( )      = = 而 D 表示全平面，则  = − D I f (x)g(y x)dxdy = 2 a . 【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当 0  x  1,0  y − x  1 时，被积函数才不 为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可. 【详解】  = − D I f (x)g(y x)dxdy = a dxdy x y x  0 1,0 − 1 2 = [( 1) ] . 2 1 0 2 1 0 1 2 a dx dy a x x dx a x x = + − =    +