1+sin x 2sin 2x cos x 4sin xcos- x dx+ dx I rsn x+coSx d x 4sin xcos2x4Jcos2x-4J sin xcos2 x d x+ d x dx CoS x dx 4Jcos x 4Jcos-x +-hn tan =1+tanx+C 三、简单无理函数的积分 ax+ b 讨论类型:R(x,ax+b),R(x cx+e 解决方法:作代换去掉根号 1+x 例10求积分 d x 1+x tdt 解:令 =t, t2 dx=- 2-1) tdt +x 2t-hn C 例11求积分 x+1+√x+1 解:令1=x+1→61d=dh d=,:6rd= =213-32+6t+6h|t+11+C7  + + dx x x x sin 3 sin 1 sin  + = dx x x x 2sin 2 cos 1 sin  + = dx x x x 2 4sin cos 1 sin  = dx x x 2 sin cos 1 4 1  + dx x 2 cos 1 4 1  + = dx x x x x 2 2 2 sin cos sin cos 4 1  + dx x 2 cos 1 4 1   = + dx x dx x x sin 1 4 1 cos sin 4 1 2  + dx x 2 cos 1 4 1   = − + dx x d x x sin 1 4 1 (cos ) cos 1 4 1 2  + dx x 2 cos 1 4 1 4cos x 1 = 2 ln tan 4 1 x + tan . 4 1 + x +C 三、简单无理函数的积分 讨论类型： ( , ), n R x ax + b ( , ), n cx e ax b R x + + 解决方法：作代换去掉根号. 例 10 求积分  + dx x x x 1 1 解：令 t x x = 1+ ， , 1 2 t x x = +  , 1 1 2 − = t x ( ) , 1 2 2 2 − = − t tdt dx  + dx x x x 1 1 ( ) ( ) dt t t t t  − = − − 2 2 2 1 2 1  − = − 1 2 2 2 t t dt dt t        − = − + 1 1 2 1 2 C t t t + + − = − − 1 1 2 ln 1 . 1 ln 1 2 2 C x x x x x +                 − + − + = − 例 11 求积分 . 1 1 1  3 + + + dx x x 解：令 1 6 t = x + 6 , 5  t dt = dx  + + + dx x x 3 1 1 1 t dt t t 5 3 2 6 1  + =  dt t t  + = 1 6 3 = 2t −3t + 6t + 6ln | t +1| +C 3 2