Methods of Mathematical Physics(2016.10) Chapter 5 Calculations on definite inte YLMa@Phys. FDU [解一]二=i是∫(=)的单极点,因此 sin sIn sInI Resf(i=lim(z-i =lim e - e-e nh(1) (2)(4)84 [解二]Resf()= sln二 sIn SIn I -sinh(D) Example7.求函数f()=e (实常数m≠0)的留数 [解]二=土i是∫(z)的一阶极点,二=∞是本性奇点(高振荡),因此 Resf()===y’Res(-)=e Resf(oo)=-Resf(i)+resff-D=(e-m-e)=-isinh m (X) Example8.求函数f(x)= 2(-a)(z-B) (aB=1,a≠B)的留数 解]二=a,B是f(=)的一阶极点,二=0是二阶极点,f(∞)=1解析,因此 Rey(a)=(-1)=(-D1=(a-1(ay=a-B (二-B) =B-a Resf(0)是=2f()在z=0附近 Taylor展式中的一次项a1z的系数a1 z2f(二)= (z2-1)2(x2-1)2 (二-a)(2-B)a-B a-BBTB +2+…)--(1+-+…)= a-BB a Rest(o) a-BB =a+B,(放心取(2-1)2项z=0) Resf(oo)=-Resf(a)+Resf(B)+resf(o]=a+B)Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 7 [解一] z i  是 f (z) 的单极点，因此      4 2 i 1 1 sin sin sin Res ( ) lim lim 1 4 1 z 1 sinh(1). (2 )(4 ) 8 4 z z i z z i f i z i z i z i e e e e i i                       [解二]   3 3 4 sin sin sin 1 Res ( ) sinh(1). 4 4 4 1 z i z i z z i f i z i z           Example 7. 求函数 2 ( ) 1 imz e f z z   (实常数 m  0 )的留数。 [解] z i 是 f (z) 的一阶极点， z  是本性奇点（高振荡），因此 Res ( ) ; Res ( ) ; 2 2 imz m imz m z i z i e e e e f i f i z i i z i i            Res ( ) [Res ( ) Res ( )] ( ) sinh . 2 i m m f f i f i e e i m           (X) Example 8. 求函数 2 2 2 ( 1) ( ) ( )( ) z f z z z z       (      1, )的留数。 [解] z  , 是 f (z) 的一阶极点， z  0 是二阶极点， f ( ) 1   解析，因此 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1/ ) Res ( ) ; ( ) ( ) z z f z z                          2 2 2 ( 1) Res ( ) ; ( ) z z f z z            Res (0) f 是 2 z f z( ) 在 z  0 附近 Taylor 展式中的一次项 1 az 的系数 1 a : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 1 1 ( ) ( )( ) ( 1) 1 1 ( 1) 1 1 1 1 (1 ) (1 ) . z z z f z z z z z z z z z z                                                                          2 2 1 1 1 Res (0) ; f                   (放心取 2 2 ( 1) z  项 z  0). Res ( ) [Res ( ) Res ( ) Res (0)] ( ). f f f f            