cal Physics(2016. 10) Chapter 5 Calculations on definite inte YLMa@Phys. FDU Example2.求函数f(x) 在二=1点的留数。 解一] f(=)= 1+(=-1)+ (=-1)+(=-)+(= (2-1)(2-1)(2-1) Resf(=-= 4!24 解二]z=1是f(z)的五阶极点,因此 de e Res(i) lir li (5-1)!d 4!=→ld=424 (X) Example3.求函数f(z) 在z=i点的留数 解]2+1=(x-0(x+1),二=+是f()的三阶极点,因此 Resf(=lim (=-i) (X) Example4.求函数f(-) 的留数 [解]二=-1是f()的三阶极点,z=∞是本性奇点,因此 Resf(1)=lim, sin 2==-2sin 2=---=2sin 2 Resf(∞)=-2sin2 (X) Example5.求函数f()=-在z=nn(n为整数)的留数 sIn 解一]二=nn是f(=)的单极点,因此 Resf(nz)=lim(=-nr) = lim (=-n) [解二]Resf(nz)= sln二 Example 6. Find the residue of (sin =/1-=1) at 2=Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 6 Example 2. 求函数   5 1 ( )   z e f z z 在 z 1 点的留数。 [解一]               234 1 555 1 1 1 ( ) 1 1 , 111 2! 3! 4! z z e e e e z z z f z z zzz                        Res (1) . 4! 24 e e f   [解二] z 1 是 f (z) 的五阶极点，因此       5 1 4 5 5 1 4 5 1 1 1 d 1 d Res (1) lim 1 lim . 5 1 ! d 4! d 24 1 z z z z e e e f z z z z                   （X）Example 3. 求函数   3 2 1 1 ( )   z f z 在 z i  点的留数。 [解] 2 z z i z i     1 ( )( ), z i  是 f (z) 的三阶极点，因此       2 2 3 2 2 3 3 2 1 d 1 1 d 1 3 Res ( ) lim . 2! d 2 d 16 1 z i z i i f i z i z z z z i                          （X）Example 4. 求函数   3 sin 2 ( ) 1 z f z z   的留数。 [解] z 1 是 f (z) 的三阶极点， z  是本性奇点，因此 2 2 1 1 1 d Res ( 1) lim sin 2 2sin 2 | 2sin 2. 2! d z z f z z z          Res ( ) 2sin2. f    （X）Example5. 求函数 z f z sin 1 ( )  在 z  n ( n 为整数)的留数。 [解一] z  n 是 f (z) 的单极点，因此         1 ' Res ( ) lim lim 1 . sin sin ' n z n z n z n f n z n z z                    [解二]     1 1 Res ( ) 1 . sin ' cos n z n z n f n z z          Example 6. Find the residue of     4 sin z / 1 z at z i 