,=vcosa, sina,=a a+sina, v=vsin, - cosa=asina-bcosa 故我们有 Q=」( asina- b cosa ds=」-bx+ady 若曲线C是闭合的,指定反时针方向为正向,则法线方向的正向指向曲线C的外部 从而当流入C的内部的流体多于流出的流体时,流量为正的;反之,当流入C的内部的流 体少于流出的流体时,流量为负的。若在区域D内任何部分,都无流体放出,也无流体吸 入,则称D内流速场v既无源又无汇。设流速场v既无源又无汇,则对D内的任一闭曲线C, 通过C的流量应当满足Q=[-b+adb=0,由格林公式不难推得以下结论 设D是单连通区域,a,b在D内有连续偏导数。则D既无源又无汇的必要与充分条件 是 (3) 前边已经定义v为速度向量v在切线方向的投影,且v= a cos a+ bsin a,其中a,b为v的 实部和虚部(也就是v在x轴和y轴方向的投影),a为切向量与x轴的夹角。对D内的任 一简单闭曲线C称|vds为流体在单位时间内沿曲线C的环量。 若沿D内的任一简单闭曲线C的环量是零,这个流体的流动就称为无旋的。 由环量的定义,无旋流动的条件是:对D内的任一简单闭曲线C y, ds=(acos+sina)d adx + bdy=0 由格林公式又不难推得下述结论: 假定D是单连通区域,a,b在D内有连续的偏导数,则D是无旋场的必要与充分条 件是 aa ab dy ax 以上讨论中,是定义在D上的流速场,实际上,对其它既有大小又有方向的物理量, 以上结论同样成立。 现考虑平面上的静电场,取静电场所在平面为z平面,单位电荷在平面上某点所受的{cos ,sin } cos sin , t v v =⋅ = + α α α a b α {sin , cos } sin cos . n v v =⋅ − = − α α α a b α y 故我们有 ( sin cos )d d d . C C Q a b s bx a = − =− + α α ∫ ∫ （2） 若曲线C 是闭合的，指定反时针方向为正向，则法线方向的正向指向曲线C 的外部， 从而当流入 的内部的流体多于流出的流体时，流量为正的；反之，当流入C 的内部的流 体少于流出的流体时，流量为负的。若在区域 内任何部分，都无流体放出，也无流体吸 入，则称 内流速场 既无源又无汇。设流速场 既无源又无汇，则对 内的任一闭曲线C ， 通过C 的流量应当满足 ，由格林公式不难推得以下结论： C D D v v D 0 C Q bdx ady =− + = ∫ 设 是单连通区域， 在 内有连续偏导数。则 既无源又无汇的必要与充分条件 是 D a b, D D ( ). a b x y ∂ ∂ − = ∂ ∂ （3） 前边已经定义 为速度向量 在切线方向的投影，且 t v v cos sin , t va b = α + α 其中 为 的 实部和虚部 也就是v 在 a b, v ( x 轴和 y 轴方向的投影 ，) α 为切向量与 x 轴的夹角。对 内的任 一简单闭曲线C 称 D dt C v s ∫ 为流体在单位时间内沿曲线 的环量。 C 若沿 D 内的任一简单闭曲线C 的环量是零，这个流体的流动就称为无旋的。 由环量的定义，无旋流动的条件是：对 D 内的任一简单闭曲线C ， d ( cos sin )d t C C vs a b s = + α α ∫ ∫ = d d C ax by + = 0. ∫ 由格林公式又不难推得下述结论： 假定 是单连通区域， 在 内有连续的偏导数，则 是无旋场的必要与充分条 件是 D a b, D D . a b y x ∂ ∂ = ∂ ∂ 以上讨论中，v 是定义在 上的流速场，实际上，对其它既有大小又有方向的物理量， 以上结论同样成立。 D 现考虑平面上的静电场，取静电场所在平面为 z 平面，单位电荷在平面上某点所受的 2