1,当,k为偶排列 38=-1,当;,k为奇排列 0,当,,中有相同者 其中,,k分别取1,2,3中的某一个值。例如123=21=212=1, 512=21=E213=-1,h12=33=0,…。利用气,向量之间的外积可写为 e2×=与 (1.18) a×b=ap1×b;=apb=;k (1.19) 1.36;与/之间的关系 Kronecker记号与 Levi-civita记号品之间有如下关系 E,,F,ks=Rdjs-disdjK (1.20) 证明1穷举法,先列出k,。所有可能的81种取值情况, 情形 2 然后逐个情形证明,例如,情形1,δ3,故此情形(1.20)成立, 证明2我们有双重外积公式 (1.21) 将23代入(1.21)左右两边,得到 将上述两式代入(1.21)两边,移项,得 (1.22) 由于,的任意性,从(1.22)即得欲证之(1.20)式。 证明3利用 Lagrange公式 按证明2类似的步骤,从(1.23)可导出(1.20)(1.17) 其中 分别取 1，2，3 中的某一个值。例如 ， ， ，…。利用 ，向量之间的外积可写为 (1.18) (1.19) 1.3 与 之间的关系 Kronecker 记号 与 Levi-Civita 记号 之间有如下关系 (1.20) 证明 1 穷举法，先列出 所有可能的 81 种取值情况， 情形 1 2 3 ┆ 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 ┆ ┆ ┆ ┆ 然后逐个情形证明,例如，情形 1， ，故此情形(1.20)成立，…。 证明 2 我们有双重外积公式 (1.21) 将 代入(1.21)左右两边，得到 将上述两式代入(1.21)两边，移项，得 (1.22) 由于 的任意性，从(1.22)即得欲证之(1.20)式。 证明 3 利用 Lagrange 公式 (1.23) 按证明 2 类似的步骤，从(1.23)可导出(1.20)