14.求二次型∑ax,(an=a)在n维单位球面 (x,x2…,x,)∈R"|∑x2=1}上的最大值与最小值。 解令 L(x,x2,…,x,1)=∑axx-1(x+x2+…+x2-1), 求偏导数,得到 L3=∑ax-Ax=0,k=1…,n 由 Ax2=0 k=1 可知 即目标函数的最大值和最小值包含在上面的方程组关于的解中。 记A=(an),由于方程组∑ax-x=0,(k=1…,m)有非零解,所 以系数行列式A-Al=0,即λ是矩阵A=(a)的特征值。由于A=(an)是 实对称阵,所以特征值都是实数,将它们按照大小排序为 4≤2≤…≤,则得到 ∫max=λn,fmn=A1 15.设生产某种产品必须投入两种要素,x和x2分别为两要素的投入 量,Q为产出量。若生产函数为Q=2x1“x2,其中a,B为正的常数,且14 ．求二次型 ( ) 在 维单位球 面 , 1 ij ji n i j ∑aij xi x j a = a = n ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∑ = = ( , , , ) 1 1 2 1 2 n k k n n x x " x R x 上的最大值与最小值。 解 令 1 2 , 1 ( , , , , ) n n ij i j i j L x x x λ a x x λ = " = ∑ − ) 2 2 2 1 2 ( 1 n x x + + + " x − ， 求偏导数，得到 1 2 2 2 1 2 1 0, 1, , , 2 ( 1) 0 k n x ik i k i n L a x xkn L x x x λ λ = ⎧ ⎪ = − = = ⎨ ⎪ ⎩ = − + + + − = ∑ " " , ， 由 2 1 , 1 1 1 0 2 k n n n k x ik i k k k i k k x L a x x λ x = = = ∑ ∑= − ∑ = ， 可知 , 1 n ij i j i j a x x λ = ∑ = ， 即目标函数的最大值和最小值包含在上面的方程组关于λ 的解中。 记 ，由于方程组 有非零解，所 以系数行列式 ( )ij A = a 1 0, ( 1, , ) n ik i k i a x λx k n = ∑ − = = " A I − λ = 0，即λ 是矩阵 ( )ij A = a 的特征值。由于 是 实对称阵，所以特征值都是实数，将它们按照大小排序为 ( )ij A = a λ1 2 ≤ ≤ λ "≤ λn，则得到 n fmax = λ ， min = λ1 f 。 15．设生产某种产品必须投入两种要素， 和 分别为两要素的投入 量，Q为产出量。若生产函数为 ，其中 1 x 2 x α β 2 1 2 Q = x x α, β 为正的常数，且 174