式是用x=1代入,而第二个公式是用x=与x=代入由于与 239 5239 比I小得多,因此第二个公式的通项(或余项)比第一个公式的通项 (或余项)趋于零的速度快得多,所以用第二个公式计算π的近似值 效果更好。 5.利用 Taylor公式求近似值(精确到10-): (1)lg11 (3)sin31° (4)cos89 (5)250 (6)(11)2 解(1)01010m+面m+( n+1 其中r(x)= 5位于0与之间。 ln1010(n+1)(+2) 由;(1)| (ln10)10(n+1)(1+2)(n10)10(n+1) 得到r;(1)k<089×10, 满足精度要求,所以 lg11≈1+1 n10102.10231054.10)=104139。 (2)e=S 知kx+(x),其中2(x)=+D’5位于0与x之间。 分x3n=4,()51x2=027×10°,满足精度要求,所以 ≈1+-+ 1.39561。 32.96·2724.81 (3)sin(+)=sin()+cos()x--sin ()x'+r(x) 其中r(x)3×x+),5位于0与x之间式是用 x =1代入，而第二个公式是用 1 5 x = 与 1 239 x = 代入。由于 1 5 与 1 239 比 1小得多，因此第二个公式的通项（或余项）比第一个公式的通项 （或余项）趋于零的速度快得多，所以用第二个公式计算 的近似值 效果更好。 π ⒌ 利用 Taylor 公式求近似值（精确到10−4）： ⑴ lg11; ⑵ e 3 ; ⑶ sin o 31 ; ⑷ cos o 89 ; ⑸ 250 5 ; ⑹ ( . ) . 11 1 2 . 解（1） ln(10 ) 1 lg(10 ) 1 ln(1 ) ln10 ln10 10 x x x + + = = + + 1 1 1 ( 1) 1 ( ln10 10 n k k k n k x r x k − = − = + ∑ + )， 其中 1 1 ( 1) ( ) (ln10)10 ( 1)(1 ) n n n n n x r x n ξ + + + − = + + 1 ，ξ 位于0 与 10 x 之间。 由 1 1 1 1 1 | (1) | (ln10)10 ( 1)(1 ) (ln10)10 ( 1) nr n n n n n ξ + + + = < + + + ，得到 ， 满足精度要求，所以 6 4 | ( r 1) | 0.89 10− < × 2 3 4 1 1 1 1 1 lg11 1 ( ) 1.04139 ln10 10 2 10 3 10 4 10 ≈ + − + − ≈ ⋅ ⋅ ⋅ 。 （2） 0 1 ( ) ! n x k n k e x r = k = ∑ + x ，其中 1 ( ) ( 1)! n n e r x x n ξ + = + ，ξ 位于0 与 x之间。 令 1 3 x = ， n = 4 ， 1 3 5 4 5 1 | ( ) | 0.27 10 3 5!3 e r − ≤ ≈ × ，满足精度要求，所以 3 1 1 1 1 1 1.39561 3 2 9 6 27 24 81 e ≈ + + + + ≈ ⋅ ⋅ ⋅ 。 （3） 2 2 1 sin( ) sin( ) cos( ) sin( ) ( ) 6 6 6 2 6 x x x r x π π π π + = + − + ， 其中 3 2 ( ) cos( ) 3! 6 x r x π = − +ξ ，ξ 位于0 与 x之间。 125