水平,以求利润最大化。 设P=(Q是甲乙双方共同面临的反需求函数。当甲的矿泉水产量为Q1,乙的产量为Q2 时,矿泉水的市场价格为P=(Q1+Q2),甲的利润x1=PQ1,乙的利润为2=PQ2。在这 个博弈中,甲乙双方的策略都表现为选择产量水平,局中人的收益即为厂商的利润。当甲的产 量为Q1时,乙以为甲不会改变这一产量,而选择一个合适的产量水平Q2以使自己的利润丌2达 到最大。同样,当乙的产量水平为Q2时,甲以为乙不会改变这一产量,而选择一个合适的产 量水平Q1以使自己的利润x1达到最大 为了说明这个博弈的结果,假设甲乙双方面临的反需求函数P=(Q)=P-kQ。用Q1表 示这局博弈中甲选择的最优产量,Q2表示乙选择的最优产量水平,则甲乙各自的收益分别为 丌1=(B+k(Q1+Q2)Q1和丌2=(P+k(Q1+Q2)Q2。由于实现了利润最大化,因此 解之得:当乙的产量水平为Q2时,甲决定的产量水平为Q1=(Q0-Q2)/2(这是甲对乙的反应 函数):当甲的产量水平为Q1时,乙决定的产量水平为Q2=(Q0-Q1)2(这是乙对甲的反应 函数)。其中,Q0=P/k表示矿泉水市场容量(即价格为零时的矿泉水需求量)。进一步求解 可得:Q1=Q2=Q0/3,即博弈的结果是双方最终各占据矿泉市场的三分之一。反应函数说 明,古诺博弈中每个局中人的决策(选定的产量水平)不但依赖于其他局中人的决策,而且与市 场的容量有关 例4.贝特兰博弈(双头垄断:价格较量) 古诺博弈模型描述了双头垄断厂商之间展开的产量较量。实际上厂商之间的产量较量并 不如价格较量那么普遍,寡头之间应该有激烈的价格竞争。不论市场价格如何,只要某一厂商 降低价格,而其他竞争对手保持原价格不变,那么降价厂商就能占有全部市场。这就是说,我 们假定消费者只从最低价格厂商那里购买产品。为此,法国经济学家贝特兰( Bertrand)于1883 年提出了以价格为选择策略的贝特兰博弈模型,反对古诺关于产量的博弈模型。 还以矿泉水为例,在贝特兰博弈模型中各厂商都预期对手不会改变价格,从而将自己的 价格确定在利润最大化的水平之上。这就是说,贝特兰博弈的构建同古诺博弈相似,所不同的 是贝特兰博弈中局中人的策略是选择价格,而古诺博弈局中人的策略是选择产量水平 贝特兰博弈中两个局中人甲和乙也是面临相同的市场需求函数,不过现在价格是自变量, 产量为因变量(古诺模型正好相反)。设市场需求函数为Q=D(P),为了分析上简单起见,进 一步设Q=Q0-bP(这里,Q0=P/k,b=1/k,即与古诺模型中的市场需求相同)。局中人的 收益仍是他所获得的利润。 如果甲和乙不相互勾结串通,当乙采取了价格水平P2时,甲认为乙不会改变这一价格水 平,从而为了占领市场而要采取低于乙的价格水平P2的价格P1,于是甲的利润为 丌1=BD(P),乙的利润为零;同样,当甲采取了价格水平P时,乙认为甲不会改变这一价 格水平,从而为了占领市场而要采取低于甲的价格水平P1的价格P2,于是乙的利润为 PD(P2),甲的利润为零 如果甲和乙相互勾结串通起来,采取相同的价格策略,即P=P2,那么甲和乙就能索要 个垄断价格,并且每人可收取一半的垄断利润。 由此可见,甲和乙的利润函数分别为: BD(P),当1<P2时 P2D(P2),当f>P2时 1=x1(P,P2)={BD(P)2,当=B2时,x2=丌2(1,P1)={PD(B2)/2,当=P时 当f>P2时 时第八章 博弈论 230 水平，以求利润最大化。 设 P =(Q) 是甲乙双方共同面临的反需求函数。当甲的矿泉水产量为 Q1 ，乙的产量为 Q2 时，矿泉水的市场价格为 ( ) P = Q1 + Q2 ，甲的利润  1 = PQ1 , 乙的利润为  2 = PQ2 。在这 个博弈中，甲乙双方的策略都表现为选择产量水平，局中人的收益即为厂商的利润。当甲的产 量为 Q1 时，乙以为甲不会改变这一产量，而选择一个合适的产量水平 Q2 以使自己的利润  2 达 到最大。同样，当乙的产量水平为 Q2 时，甲以为乙不会改变这一产量，而选择一个合适的产 量水平 Q1 以使自己的利润  1 达到最大。 为了说明这个博弈的结果，假设甲乙双方面临的反需求函数 P =(Q) = P0 − kQ 。用 Q1 表 示这局博弈中甲选择的最优产量， Q2 表示乙选择的最优产量水平，则甲乙各自的收益分别为 1 0 1 2 1  = (P + k(Q + Q ))Q 和 2 0 1 2 2  = (P + k(Q + Q ))Q 。由于实现了利润最大化，因此 0, 0 2 2 1 1 =   =   Q Q   解之得：当乙的产量水平为 Q2 时，甲决定的产量水平为 Q1 = (Q0 − Q2 ) 2 (这是甲对乙的反应 函数)；当甲的产量水平为 Q1 时，乙决定的产量水平为 Q2 = (Q0 − Q1 ) 2 (这是乙对甲的反应 函数)。其中， Q P k 0 = 0 表示矿泉水市场容量(即价格为零时的矿泉水需求量)。进一步求解 可得： Q1 = Q2 = Q0 3, 即博弈的结果是双方最终各占据矿泉市场的三分之一。反应函数说 明，古诺博弈中每个局中人的决策(选定的产量水平)不但依赖于其他局中人的决策，而且与市 场的容量有关。 例 4．贝特兰博弈(双头垄断：价格较量) 古诺博弈模型描述了双头垄断厂商之间展开的产量较量。实际上厂商之间的产量较量并 不如价格较量那么普遍，寡头之间应该有激烈的价格竞争。不论市场价格如何，只要某一厂商 降低价格，而其他竞争对手保持原价格不变，那么降价厂商就能占有全部市场。这就是说，我 们假定消费者只从最低价格厂商那里购买产品。为此，法国经济学家贝特兰(Bertrand)于 1883 年提出了以价格为选择策略的贝特兰博弈模型，反对古诺关于产量的博弈模型。 还以矿泉水为例，在贝特兰博弈模型中各厂商都预期对手不会改变价格，从而将自己的 价格确定在利润最大化的水平之上。这就是说，贝特兰博弈的构建同古诺博弈相似，所不同的 是贝特兰博弈中局中人的策略是选择价格，而古诺博弈局中人的策略是选择产量水平。 贝特兰博弈中两个局中人甲和乙也是面临相同的市场需求函数，不过现在价格是自变量， 产量为因变量(古诺模型正好相反)。设市场需求函数为 Q = D(P) , 为了分析上简单起见，进 一步设 Q = Q0 − bP (这里， Q P k 0 = 0 , b =1 k ，即与古诺模型中的市场需求相同)。局中人的 收益仍是他所获得的利润。 如果甲和乙不相互勾结串通，当乙采取了价格水平 P2 时，甲认为乙不会改变这一价格水 平，从而为了占领市场而要采取低于乙的价格水平 P2 的价格 P1 ，于是甲的利润为 ( )  1 = P1D P1 ，乙的利润为零；同样，当甲采取了价格水平 P1 时，乙认为甲不会改变这一价 格水平，从而为了占领市场而要采取低于甲的价格水平 P1 的价格 P2 ，于是乙的利润为 ( )  2 = P2D P2 , 甲的利润为零。 如果甲和乙相互勾结串通起来，采取相同的价格策略，即 P1 = P2 ，那么甲和乙就能索要 一个垄断价格，并且每人可收取一半的垄断利润。 由此可见，甲和乙的利润函数分别为：      = =  =  当 时 当 时 当 时 1 2 1 2 1 2 0, ( ) 2, ( ), ( , ) 1 1 1 1 1 1 1 2 P P P P P P P D P P D P   P P ，      = =  =  当 时 当 时 当 时 1 2 1 2 1 2 0, ( ) 2, ( ), ( , ) 2 2 2 2 2 2 1 2 P P P P P P P D P P D P   P P