高等数学教案 第七章微分方程 第五节可降阶的高阶微分方程 教学内容：三种可可降阶的高阶微分方程的形式与相应的解法 教学目标：掌握三种可可降阶的高阶微分方程的形式与相应的解法 教学重点：三种可可降阶的高阶微分方程的形式与相应的解法 教学难点：三种可可降阶的高阶微分方程的形式与相应的解法 教学方法：讲练结合 作业：P3231(5),(7),(10):2(3),(6):3；4 教学过程： 引入：从这一节开始我们学习高阶微分方程，对于高阶微分方程我们可以通过降阶的方法把 它转换到低阶的方程来求解。比如：二阶的微分方程y"=f(x,y,y'),如果可以降到一阶， 那么就可以用前面我们学过的方法来求解了。下面我们依次学习三种容易降阶的高阶微分方 程： 一、ym=fx)(f(x)为已知函数)型的高阶微分方程： 具体做法：通过n次积分就可求得原方程的通解。 例1.求方程y4)=e的通解。 解：显然，这是y0=fx)型的高阶微分方程， 因为： y(4)=e* 所以： y"=∫e'dk=e*+C, y"=[(e*+CiY=e*+Cx+C2. y=0+x+Cx+C 2 y=e*+ x+9x2+C,x+C,这就是方程y0=e的通解。 6 2 进而可知， 方程ym)=e的通解为： y=e*t- -1)！ (n-2) x-2+…+C-x+Cn。 应用练习：学生自练P316例1：求微分方程y"=e2r-cosx的通解。 二、y”=f(x,y)型的微分方程： 特点：方程中不显含未知函数y