高等数学教案 第七章微分方程 解法步骤： 第一步：变量替换，设p(x)=y',代入原方程，得p'(x)=f(x,p(x)》,此为关于未知函 数p(x)的一阶微分方程： 第二步：解方程p'(x)=f(x,p(x),如果求得通解p(x)=(x,C),那么： 第三步：由y'=p(x)=(x,C,)两边积分，就求得原方程的通解： y=(x,C)d +C2. 例2.求方程y”+√1-(y)2=0的通解。 解：显然，这是y”=∫(x,y)型的微分方程， 设y'=p(x),则y”=p'(x),代入原方程，得：p=-V1-p2,即： =--p, dx 分离变量，得： dp =d衣， 1-p 两边积分，得：arccosp=x+C, 所以，p(x)=cosc+C),即：y'=cos(x+C), 两边积分，得：y=sin(x+C,)+C2,这就是原方程的通解。 应用练习：P318例3：求微分方程1+x2)y"=2xy满足初始条件yx0=1,y叫xo=3的 特解。 三、y”=f(y,y)型的微分方程： 特点：方程中不显含自变量x, 解法步骤： 第-步：变量替换设0=y-少则y=少__.少-虫p:代 dx dx dx dy dx dy 入原方程，化为： ·P=f0,p),这是关于未知函数p0)的一阶微分方程： d 第二步：解方程中p=f0,p),如果求得其通解为：p()=(,C,),那么： 第三步：由=py)=0,C,)求原方程的通解。 dr 例3.求方程yy”-(y)2=0的通解。 2