厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116:;域名: gdjpkc. xmu. edu.cn 第九章次型 9.2二次型的规范形,惯性定理 首先考虑C上二次型的规范形 定理9.21若A是C上n阶对称阵,且r(A)=T,则存在C上n阶可逆矩阵C,使得 oO 式(5)称为C上对称矩阵在合同关系下的规范形 证明因为A=A,故存在可逆矩阵C1,使 C1 AC1=diag d1, d2, d3, ., dnj 因为r(A)=r,不妨设d≠0,1≤i≤r,d=0,r+1≤j≤n.令 C2=diag{√a1,va2,…,√a,1,…,1} 记C=C1C2,则C可逆且 Er O 用二次型的语言,就是 定理921若f(x1,m2,……,n)是C上秩为r的n元二次型,则必存在非退化线性替换X=CY, 使 f(ar )=驴+v2+…+y2 推论9.21C上对称矩阵A合同于B的充分必要条件是r(4)=r(B) 现在讨论R上二次型的规范形 定理9.22若A是武上秩为r的n阶对称阵,则存在R上n阶可逆矩阵C,使得 oO 其中p+q=T 证明因为AT=A,故存在可逆矩阵C1 Ci AC1= diagd1, d2, d3, .. dnW3qE ~" IP + 59.77.1.116; [ gdjpkc.xmu.edu.cn LRW NJT §9.2 NJTKQOU
PVMS pKT C h&9) 5= 9.2.1 f A n C h n F#$￾a r(A) = r, ! C h n FL\I$ C, l C T AC =  Er O O O  . (1) m (5) ￾ C h#I$ <|7 :6E. H ￾ AT = A, 6 L\I$ C1, l C T 1 AC1 = diag{d1, d2, d3, · · · , dn}. ￾ r(A) = r, +i di 6= 0, 1 ≤ i ≤ r, dj = 0, r + 1 ≤ j ≤ n. S C2 = diag{ p d1, p d2, · · · , p dr, 1, · · · , 1}. A C = C1C2, ! C L\a C T AC =  Er O O O  . ✷ &￾Hn 5= 9.2.1’ f f(x1, x2, · · · , xn) n C h.￾ r  n &￾! ,}> Æz? X = CY , l f(x1, · · · , xn) = y 2 1 + y 2 2 + · · · + y 2 r . C? 9.2.1 C h#I$ A <| B -{Cn r(A) = r(B).  xU R h&9) 5= 9.2.2 f A n R h.￾ r  n F#$￾! R h n FL\I$ C, l C T AC =   Ep O O O −Eq O O O O   , ^/ p + q = r. H ￾ AT = A, 6 L\I$ C1, l C T 1 AC1 = diagd1, d2, d3, · · · , dn. 1