因为r(4)=T,不妨设d>0,1≤i≤p,d<0,P+1≤j≤p+q=r,山=0,r+1≤l≤n.令 记C=C1C2,则C可逆且 E oO 定理9.22若f(x1,x2,…,xn)是R上秩为r的n元二次型,则必存在非退化线性替换,使 f(a +y2+…+ 下面的惯性定理说明定理中的P,q是唯一确定的. 定理93.3(惯性定理)设∫(x1,x2,…,xn)是R上n元二次型,若在非退化线性替换X=BY与 X=CZ,分别将∫(x1,x2,…,xn)化为两个标准型: ⅵi+…+v2-2+1-…- 则必有P=k. 证明反证法.设p>k,考虑等式 由于X=BY且X=CZ,于是Z=C-1BY,令 C21C22 21=C11y1+c12y2+……+C1nyn 22=C21y1+c2y+…+C2nyn zn=Cn1y1+ Cn292+.+Cnn 由于P>k,在齐次线性方程组 C11y1 0 ck1y1+ck2y2+……+cknn=0 0 有n个未知数,但只有n-(-k)<n个方程,所以必有非零解设有一个非零解v=a,1≤i≤P =0,p+1≤j≤p+q,代入(6)式,左边为a+吗2+…+>0,但前k和方程确定了21=0, 1≤i≤k.故(6)式右边≤0,矛盾.故P≤k.同理k≤p.因此p=k￾ r(A) = r, +i di > 0, 1 ≤ i ≤ p, dj < 0, p + 1 ≤ j ≤ p + q = r, dl = 0, r + 1 ≤ l ≤ n. S C2 = diagp d1, · · · , p dp, − p dp+1, · · · , − p dp+q , 1, · · · , 1. A C = C1C2, ! C L\a C T AC =   Ep O O O −Eq O O O O   . ✷ 5= 9.2.2’ f f(x1, x2, · · · , xn) n R h.￾ r  n &￾! ,}> Æz?￾l f(x1, · · · , xn) = y 2 1 + y 2 2 + · · · + y 2 p − y 2 p+1 − · · · − y 2 p+q . Y8Æ NrZ N/ p, q n  5= 9.3.3(9F5=) i f(x1, x2, · · · , xn) n R h n &￾f ,}> Æz? X = BY  X = CZ, -D f(x1, x2, · · · , xn) >￾O4 0 y 2 1 + · · · + y 2 p − y 2 p+1 − · · · − y 2 r , z 2 1 + · · · + z 2 k − z 2 k+1 − · · · − z 2 r , ! p = k. H (''i p > k, KTm y 2 1 + · · · + y 2 p − y 2 p+1 − · · · − y 2 r = z 2 1 + · · · + z 2 k − z 2 k+1 − · · · − z 2 r . (2)  X = BY a X = CZ, n Z = C −1BY , S C −1B =   c11 c12 · · · c1n c21 c22 · · · c2n · · · · · · · · · · · · cn1 cn2 · · · cnn   . !    z1 = c11y1 + c12y2 + · · · + c1nyn z2 = c21y1 + c22y2 + · · · + c2nyn · · · zn = cn1y1 + cn2y2 + · · · + cnnyn .  p > k, _ Æ*2    c11y1 + c12y2 + · · · + c1nyn = 0 · · · ck1y1 + ck2y2 + · · · + cknyn = 0 yp+1 = 0 · · · yn = 0 /￾ n 4
(q￾- n−(p−k) < n 4*￾v,RGi4,RG yi = ai , 1 ≤ i ≤ p, yj = 0, p + 1 ≤ j ≤ p + q, e (6) m￾3 ￾ a 2 1 + a 2 2 + · · · + a 2 p > 0, ` k ;* P zi = 0, 1 ≤ i ≤ k. 6 (6) m ≤ 0, V$6 p ≤ k. |N k ≤ p.  p = k. ✷ 2