我们称定理中的p为实对称矩阵A的正惯性指数,q为A的负惯性指数,s=p-q为A的符号差 同时也分别成为A的二次型的正惯性指数,负惯性指数和符号差.显然,实对称阵的正惯性指数等于它的 正特征值的个数,负惯性指数等于它的负特征值的个数.在四个数P,q,T,S中,若确定其中两个数,其余两 个数就确定了.所以有 推论9.22若A,B是卫上n阶对称矩阵,则下列条件等价 (2)A与B有相同的正惯性指数和负惯性指数; (3)A与B有相同的秩与符号差 (4)A与B的正特征值的个数相同,负特征值的个数相同 例1试分别在武和C上判断下列矩阵是否合同?相似?相抵? 1 解因为A,B,C均为可逆阵,所以在C上和在R上A,B,C都相抵,在C上A,B,C合同 因为A,B的正惯性指数是2,负惯性指数是1,而C的正惯性指数是1,负惯性指数是2,所以在R 上A,B合同 因为A,B,C的特征值互不相等,所以在C上和在R上A,B,C都互不相似 例2设A是C上n阶对称阵,且r(A)=T.证明A可分解为n个秩为1的对称矩阵之和 证明因为A7=A,所以存在C上n阶可逆矩阵C使得 E O E11+E22+……+E1 令A1=CEC,1≤i≤r则r(A)=1,4=A1,且A=A1+A2+…+Ar 例3设二次型f(x1,x2,x3)=ax2+an2+(a-1)x32+2x1x3-2x2x3. (1)求二次型f(x1,x2,x3)的所有特征值 (2)若二次型的规范形为2+y2,求a的值 解(1)二次型的矩阵是 A=0 a 因为det(AE-A)=(X-a)(X-a+2)(X-a-1),所以A的三个特征值是A1=a,A2=a-2,A3=a+1 (2)由二次型的规范形知A有两个特征值是正实数,一个特征值为零.所以a=2 习题 1.所有C上n阶对称阵按照合同关系分类,共有几类?所有武上n阶对称阵按照合同关系分类,共 有几类?X N/ p ￾k#I$ A  G9FIA, q ￾ A  89FIA, s = p − q ￾ A  7;4, |j-￾ A & G9FIA, 89FIA ; 7;4. d￾k#$&8Æ,qw &y%*4q￾18Æ,qw1y%*4q s4q p, q, r, s /￾f ^/O4q￾^O 4qH Pv C? 9.2.2 f A, B n R h n F#I$￾!Q{CB (1) A ∼ B; (2) A  B  |&8Æ,q;18Æ,q (3) A  B  |./:Æ (4) A  B &y%*4q |￾1y%*4q | > 1 o- R ; C h℄"QI$n.<| t  A =   −1 1 2  , B =   1 1 −2  , C =   2 −3 −3 −2 −2   < ￾ A, B, C J￾L\$￾v C h; R h A, B, C ! ￾ C h A, B, C <| ￾ A, B &8Æ,qn 2 ￾18Æ,qn 1, % C &8Æ,qn 1 ￾18Æ,qn 2, v R h A, B <| ￾ A, B, C y%*= ￾v C h; R h A, B, C != t > 2 i A n C h n F#$￾a r(A) = r. 'Z A L-G￾ n 4.￾ 1 #I$); H ￾ AT = A, v C h n FL\I$ C l A = C T  Er O O O  C. %  Er O O O  = E11 + E22 + · · · + Err. S Ai = C T EiiC,1 ≤ i ≤ r, ! r(Ai) = 1, AT i = Ai , a A = A1 + A2 + · · · + Ar. > 3 i& f(x1, x2, x3) = ax2 1 + ax2 2 + (a − 1)x 2 3 + 2x1x3 − 2x2x3. (1) b& f(x1, x2, x3) vy%* (2) f&9) ￾ y 2 1 + y 2 2 , b a * < (1) &I$n A =   a 0 1 0 a −1 1 −1 a − 1   . ￾ det(λE−A) = (λ−a)(λ−a+2)(λ−a−1), v A g4y%*n λ1 = a, λ2 = a−2, λ3 = a+1. (2) &9) ( A O4y%*n&kq￾4y%*￾Rv a = 2. DB 1. v C h n F#$#<|7-M￾5Mv R h n F#$#<|7-M￾5 M 3