第3讲函数概念(3) 第3讲函教概念(3) 、反函数 设函数y=f(x)的值域为Zr,如果对于Z/中的任一y值,从关系式y=f(x)中可确 定惟一的一个x值,则称变量x为变量y的函数,记为 Py) g(y)称为函数y=f(x)的反函数,习惯上y=f(x)的反函数记为y=f(x) 从上述定义可知求反函数的步骤为:①把x从方程y=f(x)中解出;②把刚才所得到 的表达式中的x与y对换,即得所求函数的反函数f-1(x) 例1求下列函数的反函数 (1) +1’ (2)y=ln(x+√1+x2). 解(1)由原式中解出2,得2=1+y y作因变量就得反函数:y=g1取对数解出x,x=1og21+用x作自变量 (2)由y=ln(x+√1+x)得x+√1+x2=e,或ey=√x+1-x 解联立方程组 √x2+1+x=ey, √x2+1-x=e- 消去√x2+1,得x= 对换x与y,得反函数y= hr 2 例2求y 1-√1+4x 1+√1+4x 的反函数 解令u=√+4,则y=1+a,解出=1-2,即√1+4x=1+y 解出x=1 y (x+1) 注意①y=f(x)的图象与其反函数x=g(y)的图象重合;y=f(x)的图象与其反 函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称;②只有一一对应的函数才有反函数 二、基本初等函数 这些函数都是最基本最重要的函数,我们务必记住下面表格中各基本初等函数的定义 式及性质,熟练地画出它们的图象,以方便今后学习 表3.1 基本初等函数 名称定义式 性质 要 图形 a>0时 定义域可为 本 (a为常数) 函数单调增;(一∞,+∞),如 等|定义城一般 a<0时,y=x2;也可为 aI 为(0,+∞) 函数单调减|[o,+∞), 数 过(1,1)点如y=x