1.了解 Chebyshev不等式、 Chebyshev大数定律、 e moivre- Laplace中心极限定理、Lewy- Lindeberg中心极限定理 2.了解大数定律和中心极限定理的使用 二、典型例题 1.设随机变量X的概率密度为f(x)={m x,x≥0 0.x<0 其中m为正整数,证明P{<X<2m+1)2- ECX) (m+)(x)d=m+1 E(X2)=rf(x)dx=hrme""dx (m+2)(m+1) 于是D(X)=E(X2)-[E(X)=m+1, 取E=m+1,利用契比雪夫不等式,则 P0<X<2(m+1)=P{x-(m+1)<m+ =Plr-E(X)se)21-D(r)=1-m+I (m+ 2.某厂生产的螺丝不合格率为001,问一盒中应至少装有多少只才能使其中含有100只合格品的概率不 小于0.95? 解]设一盒至少应装n只满足要求,引入 第识只螺丝为合格品 X 0,第识只螺丝为不合格品 则x,K2…,X独立同分布,且 PX1=k)=(0.99)2×(001),K=0,1,=12,…,N E(X)=0.99=,D(X)=0.01×0.99=a2 依题依所求之n满足P>x,≥100}≥095 用独立同分布的中心极限定理得1. 了解 Chebyshev 不等式、Chebyshev 大数定律、 De Moivre-Laplace 中心极限定理、Levy-Lindeberg 中心极限定理； 2．了解大数定律和中心极限定理的使用。 二、典型例题 1．设随机变量 X 的概率密度为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≥ = − 0, 0 , 0 ( ) ! x e x m x f x x m 其中 m 为正整数，证明 { } 1 0 2( 1) + < < + ≥ m m P X m [证明] ∫ ∫ +∞ + − +∞ −∞ = = 0 1 ! 1 ( ) ( ) x e dx m E X xf x dx m x ∫ ∫ ∞ ∞ + − − = − = + 0 0 1 ! 1 ( ) ( 1) ! 1 x e dx m x d e m m m x m x ∫ ∞ −∞ = (m +1) f (x)dx = m +1 ∫ ∫ ∞ + − ∞ −∞ = = 0 2 2 2 ! 1 ( ) ( ) x e dx m E X x f x dx m x = (m + 2)(m +1) 于是 ( ) ( ) [ ( )] 1， 2 2 D X = E X − E X = m + 取ε = m +1，利用契比雪夫不等式，则 P{ } 0 < X < 2(m +1) = P{ } X − (m +1) < m +1 { } 2 ( ) ( ) 1 ε ε D X = P X − E X ≤ ≥ − ( 1) 1 1 1 2 + = + + = − m m m m 2．某厂生产的螺丝不合格率为 0.01，问一盒中应至少装有多少只才能使其中含有 100 只合格品的概率不 小于 0.95？ [解] 设一盒至少应装 n 只满足要求，引入 ⎩ ⎨ ⎧ = ，第 只螺丝为不合格品。 第 只螺丝为合格品； i i Xi 0 1, 则 X1 , X 2 ,", X n独立同分布，且 2 1 ( ) 0.99 , ( ) 0.01 0.99 ( ) (0.99) (0.01) , 0,1, 1,2, , = = µ = × =σ = = × = = − i i k k i E X D X P X k K i " N 依题依所求之 n 满足 { 100} 0.95 1 ∑ ≥ ≥ = n i P X i 用独立同分布的中心极限定理得 4