八、(15分)用正交变换化二次型f(x1,x2,x)=x2+x2+x2-2x2为 标准形,并写出所用的正交变换。 八、(16分)设实对称阵A=-24-2 (1)写出对应A的二次型f(x1,x2,x3) (2)已知A的特征值为1=2=5,42=-4,和对应于的一 个特征向量a3=(212),试求一个正交变换,把二次型f(x,x2,x1)化 为标准型 九、(8分)设A是可逆阵,A是A的特征值,证明是A的特征 值 若A是正交阵,则A= 八、(16分)设实对称阵A=-24-2 (1)写出对应于A的二次型f(x,x2x) (2)已知A的特征值为=-42=2=5,和对应于的 个特征向量a1=(212),试求一个正交变换,把二次型f(x1,x2,x1)化 为标准型。 4.实二次型f=x4x的矩阵为A,则A是() (A)对称的;(B)可逆的;(C)满秩的。 3.二次型f(x,y)=x2+2y2+52+2xy+6yz+2x的秩为 4.已知二次型f(x1,x2,x3)=6x2+5x2+7x2-4x2+4x3 则此二次型的正定性是 九、(12分)求一个正交变换x=Py,把二次型 f(x,x2x)=2x2+5x2+5x2+4x2-4x1x3-8x2x3化为标准型 八、(16分)求矩阵A=-430的特征值和特征向量。8 八、（15 分）用正交变换化二次型 1 2 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = x1 + x + x − 2x x 为 标准形，并写出所用的正交变换。 八、（16 分）设实对称阵           − − − − − − = 4 2 1 2 4 2 1 2 4 A （1） 写出对应 A 的二次型 ( , , ) 1 2 3 f x x x （2） 已知 A 的特征值为 1 = 2 = 5,3 = −4 ，和对应于 3 的一 个特征向量 (2,1,2) 3  =  ，试求一个正交变换，把二次型 ( , , ) 1 2 3 f x x x 化 为标准型。 九、（8 分）设 A 是可逆阵，  是 A 的特征值，证明  1 是 −1 A 的特征 值。 4．若 A 是正交阵，则 A = 八、（16 分）设实对称阵           − − − − − − = 4 2 1 2 4 2 1 2 4 A （1）写出对应于 A 的二次型 ( , , ) 1 2 3 f x x x （2）已知 A 的特征值为 1 = −4,2 = 3 = 5 ，和对应于 1 的一 个特征向量 (2,1,2) 1  =  ，试求一个正交变换，把二次型 ( , , ) 1 2 3 f x x x 化 为标准型。 4．实二次型 f = x Ax 的矩阵为 A，则 A 是（ ） （A）对称的；（B）可逆的；（C）满秩的。 3．二次型 f (x, y,z) x 2y 5z 2xy 6yz 2zx 2 2 2 = + + + + + 的秩为 4． 已知二次型 1 2 1 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = 6x1 + 5x + 7x − 4x x + 4x x 则此二次型的正定性是 九、（12 分）求一个正交变换 x = Py ，把二次型 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = 2x1 + 5x + 5x + 4x x − 4x x − 8x x 化为标准型。 八、（16 分）求矩阵           − − − = 1 0 2 4 3 0 1 1 0 A 的特征值和特征向量