dc/s (5-z)(2-2)R2-2Rcos(-g)+r 又由34题知∫()= (R2-z)f() d=16(R2-r2)/(Re")d 2(-)R2-5)2zR2-2 Arcos(0-g)+r 36.设∫()在简单闭曲线C内及C上解析,且不恒为常数,n为正整数 )试用柯西积分公式证明 [f(=) f(=) 2)设M为f(2)在C上的最大值,L为C的长,d为z到C的最短距离,试用积分估值公式 (3.1.10)于1)中的等式,证明不等式 f(=) 3)令n→+∞,对2)中的不等式取极限,证明:|f(-)k≤M。这个结果表明:在闭区域内不 恒为常数的解析函数的模的最大值只能在区域的边界上取得(最大模原理)。 证明1)在柯西积分公式中将里面的函数f(二)换成[f(=)即得。 2)由1)知(+,[msnM,故 1)(Mr 3)对2)中的不等式取极限(n→>+∞),即得。 10- 10 - 2 2 / i ( )( ) 2 cos( ) d d z z R Rr r ζ ζ θ ζ ζ θϕ = − − − −+ 。 又由 34 题知 2 22 i 22 2 1 ( )() 1 ( )( e) ( ) 2 i ( )( ) 2 2 cos( ) C C R zz f R r f R d fz d z R z R Rr r θ ζ θ ζ π ζ ζ π θϕ − − = = − − − −+ v v ∫ ∫ 。 36．设 f ( )z 在简单闭曲线C 内及C 上解析，且不恒为常数， n 为正整数. 1）试用柯西积分公式证明： 1 [ ( )] [ ( )] 2 i n n C f f z d z ζ ζ π ζ = − v∫ . 2）设 M 为| ( )| f ζ 在C 上的最大值， L 为C 的长，d 为 z 到C 的最短距离，试用积分估值公式 （3.1.10）于 1）中的等式，证明不等式： 1/ | ( )| 2 n L fz M π d ⎛ ⎞ ≤ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 3）令 n → +∞ ，对 2）中的不等式取极限，证明：| ( )| f z M≤ 。这个结果表明：在闭区域内不 恒为常数的解析函数的模的最大值只能在区域的边界上取得（最大模原理）。 证明 1）在柯西积分公式中将里面的函数 f ( )z 换成[ ( )]n f z 即得。 2）由 1）知 1 [ ( )] | ( ) | |[ ( )] | 2 2 n nn n C f L f z f z ds M z d ζ πζ π =≤ ≤ − v∫ ，故 1/ 1/ | ( )| 2 2 n n L L n fz M M π π d d ⎛ ⎞ ⎛⎞ ≤ = ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎝ ⎠ ⎝⎠ 。 3）对 2）中的不等式取极限（ n → +∞ ），即得