f(=2"4J(-+Re)d 只取其实部有:a(x002J(x+rcos+ rSin g)dlp; 2)由1)知(x+ros9+ sino)dob=-2x(x,)b=m(x,) 33.如果∫(=)=l+iv在区域D内处处解析,C为D内的正向圆周:|=|=R,它的内部完全含于D 设z为C内一点,并令2=R/2,试证 () ds =0 证明因二为C内一点,|班日R2/E=R2=R>R,故(在C及其内部解析。由 Cauchy基本定理知④d/(s) () dz=0。 34.根据柯西积分公式与习题33的结果,证明 f(二)= f(4M5=,-∮ (R2-z)f() (2-=)(R 其中C为=}=R 证明由柯因积分公式有:f()=n1手5 2n9d5;而由3题结果知∮) d==0,故 R 将这两式相减即得 35如果令2=Re,=re,验证 ds/s ide (R2 (5-z)(2-2)R2-2 Arcos(0-g)+r 并由34题的结果,证明 f(=) )f(Re) 2r Jo R2-2Rrcos(8-0)+r2d6 取其实部,得 u(x,y=u(rcos, rsin R--2Rrcos(0-) 这个积分称为泊松( Poisson)积分。通过这个公式,一个调和函数在一个圆内得值可用它在圆周上的 值来表示 R- R 证明 R=R-e=s dc/4 (2-2)(R2-5 R d515又 diR·e"d0_id,(2-25-2)=R2-2 Rr cos((-0)+r2,故 R- 9 - 2 0 0 0 1 ( ) ( e) 2 i f z fz R d π θ θ π = + ∫ 只取其实部有： 2 00 0 0 0 1 ( , ) ( cos , sin ) 2 ux y ux r y r d π ϕ ϕ ϕ π = ++ ∫ ； 2）由 1）知 0 0 2 2 2 0 0 00 00 00 0 0 0 1 1 ( cos , sin ) 2 ( , ) ( , ) r r u x r y r rd dr u x y rdr u x y r r π ϕ ϕϕ π π π ++ = = ∫∫ ∫ 。 33．如果 f () i z uv = + 在区域 D 内处处解析，C 为 D 内的正向圆周：| | z = R ，它的内部完全含于 D 。 设 z 为C 内一点，并令 2 zRz  = / ，试证 2 () () 0 C C f zf d d z zR ζ ζ ζ ζ ζ ζ = = − − ∫ ∫  v v 。 证明 因 z 为 C 内一点， 2 2 | | | / | /| | | | R z Rz R z RR z  = = => ，故 f ( ) z ζ ζ −  在 C 及其内部解析。由 Cauchy 基本定理知： 2 () () 0 C C f zf d d z zR ζ ζ ζ ζ ζ ζ = = − − ∫ ∫  v v 。 34．根据柯西积分公式与习题 33 的结果，证明 2 2 2 1 1 1 ( )() () ( ) 2 i 2 i ( )( ) C C z R zz f f z fd d z R z zR z ζ ζζ ζ πζ ζ πζ ζ ⎡ ⎤ − =+ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − − −− v v ∫ ∫ ， 其中C 为| | z = R |. 证明 由柯西积分公式有： 1 () ( ) 2 i C f f z d z ζ ζ π ζ = − v∫ ；而由 33 题结果知 2 ( ) 0 C zf d z R ζ ζ ζ = − v∫ ，故 将这两式相减即得。 35 如果令 i i Re, e z r θ ϕ ζ = = ，验证 2 22 / i . ( )( ) ( )( ) R 2 cos( ) dd d z R z z z Rr r ζ ζζ θ ζ ζ ζ ζ θϕ = = − − − − − −+ 并由 34 题的结果，证明 22 i 2 2 2 0 1 ( )( e) ( ) 2 2 cos( ) R r fR f z d R Rr r θ π θ π θϕ − = − −+ ∫ . 取其实部，得 2 2 2 2 2 0 1 ( ) ( cos , sin ) ( , ) ( cos , sin ) 2 2 cos( ) R r uR R uxy ur r d R Rr r π θ θ ϕ ϕ θ π θϕ − = = − −+ ∫ 这个积分称为泊松（Poisson）积分。通过这个公式，一个调和函数在一个圆内得值可用它在圆周上的 值来表示。 证明 2 R R i R Re θ ζ ζ ζ − = =⋅ = ，故 2 2 / / . ( )( ) ( )( ) ( )( ) ddd zR z z z R z z ζ ζζ ζζ ζ ζ ζζ ζ ζ = = − − −− − − 又 i i d iR e d id R e θ θ ζ θ θ ζ ⋅ = = ⋅ ， 2 2 ( )( ) 2 cos( ) ζ ζ θϕ − −= − −+ z z R Rr r ，故