道矩形、正方形、菱形和平行四边形，也会画这些图形，但对它们的理解是孤 立而不相联系的，他认为这些图形是完全不同的。 水平。外折(Ana1vsis)。其特征县学生开始识别图形的构造 相之间的关系， 也能借助于观察、 作图等方法非正式地 建立起图形 的许多性 但并未掌握其间的必然联系。譬如他知道矩形有四个直角、对边相等、对角线 相等，但他并未深入追问这些性质互相之间是否有什么联系？对这些性质的掌握 只限于各种现象的罗列：再如他完全知道一般的平行四边形和矩形一样也具有 对边相等的性质，但他并未想到矩形概念应该从属于平行四边形概念， 水平：抽象(Abstractio 其特征是学生形成了抽象的定义， 也能 建立图形概念与性质之间的逻辑次序，但尚未对演绎的实质含义形成清晰 念。根据思维变化与对象的不同特点，他会混合使用实验观察与逻辑推理等各 种不同的推导方法，但还没有理解公理的作用，自然更谈不上对数学内在结构 体系的攀握。譬如他知道矩形的定义，也能知道正方形是矩形，也是平行四边 他怀可可以以平行形的其个 性质为出发点， 以推出其他的性质；但他还 没有掌握整体的逻辑联系，还不知道哪些概念是基本的，而另 一些性质却是派 生的 3一水平：演绎（①eduction)。其特征是学生抓住了整个的演绎体系，能 在以不定义的基本关系和公理为基础的数学体系内，在定义、定理之间进行形 式推祖。阻翠构浩和发居憨个休系的罗摄结物 ,能理解并分析相互之间的逻辑 四边形的所有性质与特征构成 共不系统，甚而揭示各种定义的等价性，他也能理解哪些事实必须当作公理而 譬如他会从不同的定义： 接受，再在此基础上导出所有合乎形式逻辑的结论。 4一水平：严谨(Rigor),其特征是学生领会了现代公理系统的严密性， 对于几何对象的具体性质以及几何关系的具体含义都可以不作解释， 而是完全 一般化的几何理论，这实质 上已经将几何提高到 一泛应用的领 ,并能不用具体的几何模型来研究各种几何学 也只有在达到了这一水平的基础上，才能进而将公理化思想渗透入数学的各个 不同分支，从而使数学形成一个严谨而完美的形式逻辑演绎体系，暂时离开它 所依据的具体现实、客观事实，而从内在的罗辑联系中，讲一步探讨时数学科学 的深奥的本质结构 根据儿童的思维发展与学习过程提出来的这 思维水平理论， 正好相 于前面所谈的数学教育中的数学化原则。 一般来说，在某 个水平上进行的组 织活动，往往成为下 个水平的研究对象，通过重新组织又提高到一 个新的水 平。数学教育这一活动过程，就应该是教师根据社会现实的需要，儿童认识过 程的发展规律，在不同阶段提出学生应该达到的不同水平， 并日引导学生不期 地攀登新的水平， 就在 平的稻 研究着各种不同的数 现实，学会了各种不同层次的数学化，从而也通过这条途径掌握了数学 为此，在数学教育中必须强调以下几点：一是思维的直观性。抽象而复 杂的数学知识，总以某些具体对象或内容为背景材料，形形色色的不同层次的 数学化，总要以某个相应的数学现实为出发点：在教学过程中，时刻牢记学生 所拥有的数学现实 鼓励学生的 直觉月 尽可能阐明问题的来 从而 在学生思想中形成 个具体而鲜明的原型 这必然会形成掌握数学化思想的： 实基础。二是思维的阶段性，处于不同思维水平阶段的学生，往往拥有不同层 次的数学现实，掌握着不同形式的数学语言，也具有不同程度的数学化水平。 道矩形、正方形、菱形和平行四边形，也会画这些图形，但对它们的理解是孤 立而不相联系的，他认为这些图形是完全不同的。 1——水平：分析(Analysis)。其特征是学生开始识别图形的构造，互 相之间的关系，也能借助于观察、作图等方法非正式地建立起图形的许多性质， 但并未掌握其间的必然联系。譬如他知道矩形有四个直角、对边相等、对角线 相等，但他并未深入追问这些性质互相之间是否有什么联系?对这些性质的掌握 只限于各种现象的罗列；再如他完全知道一般的平行四边形和矩形一样也具有 对边相等的性质，但他并未想到矩形概念应该从属于平行四边形概念。 2—水平：抽象(Abstraction)。其特征是学生形成了抽象的定义，也能 建立图形概念与性质之间的逻辑次序，但尚未对演绎的实质含义形成清晰的观 念。根据思维变化与对象的不同特点，他会混合使用实验观察与逻辑推理等各 种不同的推导方法，但还没有理解公理的作用，自然更谈不上对数学内在结构 体系的掌握。譬如他知道矩形的定义，也能知道正方形是矩形，也是平行四边 形；他还可以以平行四边形的某个性质为出发点，以推出其他的性质；但他还 没有掌握整体的逻辑联系，还不知道哪些概念是基本的，而另一些性质却是派 生的。 3—水平：演绎(Deduction)。其特征是学生抓住了整个的演绎体系，能 在以不定义的基本关系和公理为基础的数学体系内，在定义、定理之间进行形 式推理，理解构造和发展整个体系的逻辑结构，能理解并分析相互之间的逻辑 关系。譬如他会从不同的定义出发来研究平行四边形的所有性质与特征构成的 整个系统，甚而揭示各种定义的等价性，他也能理解哪些事实必须当作公理而 接受，再在此基础上导出所有合乎形式逻辑的结论。 4—水平：严谨(Rigor)，其特征是学生领会了现代公理系统的严密性， 对于几何对象的具体性质以及几何关系的具体含义都可以不作解释，而是完全 抽象地建立一般化的几何理论，这实质上已经将几何提高到一个广泛应用的领 域。譬如他能比较各种公理体系，并能不用具体的几何模型来研究各种几何学。 也只有在达到了这一水平的基础上，才能进而将公理化思想渗透入数学的各个 不同分支，从而使数学形成一个严谨而完美的形式逻辑演绎体系，暂时离开它 所依据的具体现实、客观事实，而从内在的逻辑联系中，进一步探讨数学科学 的深奥的本质结构。 根据儿童的思维发展与学习过程提出来的这一思维水平理论，正好相应 于前面所谈的数学教育中的数学化原则。一般来说，在某一个水平上进行的组 织活动，往往成为下一个水平的研究对象，通过重新组织又提高到一个新的水 平。数学教育这一活动过程，就应该是教师根据社会现实的需要，儿童认识过 程的发展规律，在不同阶段提出学生应该达到的不同水平，并且引导学生不断 地攀登新的水平；就在这不断提高水平的过程中，学生研究着各种不同的数学 现实，学会了各种不同层次的数学化，从而也通过这条途径掌握了数学。 为此，在数学教育中必须强调以下几点：一是思维的直观性。抽象而复 杂的数学知识，总以某些具体对象或内容为背景材料，形形色色的不同层次的 数学化，总要以某个相应的数学现实为出发点；在教学过程中，时刻牢记学生 所拥有的数学现实，鼓励学生的直觉思维，尽可能阐明问题的来龙去脉，从而 在学生思想中形成一个具体而鲜明的原型，这必然会形成掌握数学化思想的扎 实基础。二是思维的阶段性，处于不同思维水平阶段的学生，往往拥有不同层 次的数学现实，掌握着不同形式的数学语言，也具有不同程度的数学化水平