其次，反思是数学化过程中的一种重要活动。它是数学活动的核心和动 ,而分析直觉理解的原因是通向数学化的道路 对自己的判断与活动甚至语言表达进行思考并加以证实 以便有意识地了解自身行为后面潜藏的实质，只有这样的数学教育 以反居 为核心 -才能使学生真正深入到数学化过程之中，也才能真正抓住数学思组 的内在实质。 现代化数学往往借助数学方法来为名种错综有杂的现象构告相应的测 学模型，这当然是一种数学化 作为数学教 学模型，硬灌给学生，去塞满学生的脑袋；人们希望的是学生会运 用自己的 学知识来为具体问题建造新的数学模型，应该说，数学教育的目标就在于使学 生学会“数学化”。 弗赖登塔尔关于“数学化”的论述，可以说把我们通常所说的“数学抽 象性” “实我 理论 一实践”的 般公式更为具体化了 作为一位有成 就的数学家，他用自己的几十年数学研究经验， 构筑了 门形成 学概念、打扩 展数学知识的实际过程，值得我们参照学习，以下我们来具体地论述两种常见 的“数学化”过程：公理化和形式化。 人们在长期的实践中，将直观朴素的各种几何命题加以组织、整理、加 工，形成欧几里德公理系统，这一通常称为公理化的过程，也是一种数学化， 近年来数学发展的重要特征之 就是公理化思想广泛地渗入各个数学领域 例如从置换群与几何变换群形成 般群的公理系统，从实数域与复数域建立志 般域的公理系统等等。我们的数学教育自然不能停留在让学生的头脑成为形 形色色公理系的仓库，更重要的任务是必须教会学生能运用自己的数学思维， 对一个数学领域进行加工、整理，从而独立地建立起一个公理体系来。也就是 说， 以须让学生学△公理化 如果说公理系统是通过公理化的方法重新组织数学内容的结果，那么作 为数学抽象性的特点之一的形式体系就是通过形式化的方法重新组织数学语言 的表达，从而建立起来的结构。这种形式体系化，或简称形式化，又是另一种 数学化。数学内容的特殊本质决定了对数学语言的特殊要求，从日常语言中逐 渐独立出来，引进特定的数学术语来表达数学的活动与思想 从希腊人的以字 母表点， 到 拉伯人建立的完整的数字符号系统 从而使代数运 算及有关的关系形成了完美的体系。17世纪以来，大量新符号的引进， 以至 年来将逻辑符号引入了数学。所有这些都是数学的形式化过程的逐步提高与发 展，在此过程中数学科学也进到了一个更高的阶段。随着近年来计算技术的突 飞猛进，预计数学的形式化水平还将达到更高的水平。在数学教育中，并不是 要学生背诵那些形式体系， 形式 会用正确的数学语言来 组织并表达数学的现实内容及内在联系。形式化和形式主义是根本不同的，我 们不能为形式而形式，使数学成了无内涵无意义的机械运算、形式游戏。只讲 “思想体操”，不讲“思想内容”，那是“纯形式”把戏，不是“形式化”过 程。 荷兰的van Hiele曾经首先研究了实现数学化过程的教学理论，他提出 了关于几何思维的五个水平，这对如何通过数学化途径以进行数学教育是个很 好的借鉴。五个水平(1evls)列举如下（前已提及，这里再作一些具体解释）： 水平：直观(Visualization)。其特征是学生借助直观，笼统地从 整体外表上接受图形概念，并不理解其构造、关系，也不进行比较。譬如他知其次，反思是数学化过程中的一种重要活动。它是数学活动的核心和动 力。数学的不少发现来自于直觉，而分析直觉理解的原因是通向数学化的道路 必须让学生学会反思，对自己的判断与活动甚至语言表达进行思考并加以证实， 以便有意识地了解自身行为后面潜藏的实质，只有这样的数学教育——以反思 为核心——才能使学生真正深入到数学化过程之中，也才能真正抓住数学思维 的内在实质。 现代化数学往往借助数学方法来为各种错综复杂的现象构造相应的数 学模型，这当然是一种数学化，作为数学教师谁都不会满足于将各种现成的数 学模型，硬灌给学生，去塞满学生的脑袋；人们希望的是学生会运用自己的数 学知识来为具体问题建造新的数学模型，应该说，数学教育的目标就在于使学 生学会“数学化”。 弗赖登塔尔关于“数学化”的论述，可以说把我们通常所说的“数学抽 象性”、“实践——理论——实践”的一般公式更为具体化了。作为一位有成 就的数学家，他用自己的几十年数学研究经验，构筑了人们形成数学概念、扩 展数学知识的实际过程，值得我们参照学习，以下我们来具体地论述两种常见 的“数学化”过程：公理化和形式化。 人们在长期的实践中，将直观朴素的各种几何命题加以组织、整理、加 工，形成欧几里德公理系统，这一通常称为公理化的过程，也是一种数学化。 近年来数学发展的重要特征之一，就是公理化思想广泛地渗入各个数学领域。 例如从置换群与几何变换群形成一般群的公理系统，从实数域与复数域建立起 一般域的公理系统等等。我们的数学教育自然不能停留在让学生的头脑成为形 形色色公理系的仓库，更重要的任务是必须教会学生能运用自己的数学思维， 对一个数学领域进行加工、整理，从而独立地建立起一个公理体系来。也就是 说，必须让学生学会公理化。 如果说公理系统是通过公理化的方法重新组织数学内容的结果，那么作 为数学抽象性的特点之一的形式体系就是通过形式化的方法重新组织数学语言 的表达，从而建立起来的结构。这种形式体系化，或简称形式化，又是另一种 数学化。数学内容的特殊本质决定了对数学语言的特殊要求，从日常语言中逐 渐独立出来，引进特定的数学术语来表达数学的活动与思想。从希腊人的以字 母表点，以文字代数，到阿拉伯人建立的完整的数字符号系统，从而使代数运 算及有关的关系形成了完美的体系。17 世纪以来，大量新符号的引进，以至近 年来将逻辑符号引入了数学。所有这些都是数学的形式化过程的逐步提高与发 展，在此过程中数学科学也进到了一个更高的阶段。随着近年来计算技术的突 飞猛进，预计数学的形式化水平还将达到更高的水平。在数学教育中，并不是 要学生背诵那些形式体系，而应使学生学会形式化，学会用正确的数学语言来 组织并表达数学的现实内容及内在联系。形式化和形式主义是根本不同的，我 们不能为形式而形式，使数学成了无内涵无意义的机械运算、形式游戏。只讲 “思想体操”，不讲“思想内容”，那是“纯形式”把戏，不是“形式化”过 程。 荷兰的 van Hiele 曾经首先研究了实现数学化过程的教学理论，他提出 了关于几何思维的五个水平，这对如何通过数学化途径以进行数学教育是个很 好的借鉴。五个水平(1evels)列举如下(前已提及，这里再作一些具体解释)： 0——水平：直观(Visualization)。其特征是学生借助直观，笼统地从 整体外表上接受图形概念，并不理解其构造、关系，也不进行比较。譬如他知