Vol.28 No.8 陈明文等：远场来流作用下纯熔体液固平直界面的稳定性分析 ·729· 曲界面，不再保持平面.在随界面一起运动的移 其中，Y为表面张力系数；△H为相变潜热；μ为 动坐标系中，假设受到扰动的界面形状用函数y 界面动力学系数；K为界面的平均曲率；n和τ分 =h(x,t)表示，则温度场、流场和界面运动的状 别为界面单位法方向（由固相指向液相）和单位切 态可以用如下的控制方程和边界条件描述： 方向；kT和ks分别为液相和固相的热传导系数： V+h U为界面的绝对运动速度U一十，h: 液相 和h,分别为界面形状函数y=h(x,t)对x和t 的一阶偏导数 (4)远场条件：当y→时， U→Ua (10 固相 TL→To (11) 由式(1)~(11)组成了纯熔体内具有平直界 面的凝固系统. 图1具有远场来流的二维定向凝固系统示意图 Fig.I Sketch of two-dimensional directional sodification with 2线性稳定性分析 a far field flow 首先对于所涉及的物理量进行量纲为一化. (I)在流场中，流动速度U满足Navier- 选择扩散长度kr/(cnPV)作为问题的长度尺 Stokes方程和连续性方程： 度，界面的特征速度V为速度尺度，kr/ (U可=-p+U(axKK网 (PLV)作为时间尺度，△H/(cP)为温度尺度， 作为压力尺度，其中为液相的比热容. (1) 定义量纲为一量 7U=0(h(x,tKy<∞ (2 TL-TM Ts-TM (2)在温度场中，液相温度TL和固相温度 T-DHI(c)Ts-AHI(ep) Ts分别满足热传导方程： U.VTL=aT VTL (h(x,tK<<oo)(3) ⑦=gP- P1v2 v=as V Ts (-o<y<h(x,t)) 将凝固系统(1)~(11)进行量纲为一化处理. 为了书写方便起见，仍用TL,Ts分别表示液相和 (4) 固相温度，U表示速度，P为压力. 其中v为运动粘度，P为压力，QT和as分别为温 (1)在流场中，流速U=i十yj满足 度场中液相和固相的热扩散系数，而P,为液相质 (UV)U--VP+Pr VU (h(x,txoo 量密度.假定液相和固相的比热容相等，液相和 (12) 固相的质量密度相等，忽略流场中浮力和热膨胀 7·U=0(h(x,tKy<∞)(13) 的作用. (2)在温度场中， (3)界面条件：在界面y=h(x,t)上， U.VTL=VTL (h(x,tKx<oo)(14) 质量守恒条件 (U什j)“n=0 (5) 亚=k.72Ts(-xKh(x,) 切向无滑移条件 (15) (U+叮)·t=0 (6) (3)界面条件：在界面y=h(x,t)上， 热平衡条件 u+(v+1)hx=0,v-uhx=-1(16) TL=Ts (7) TL=Ts (17) Gibbs-Thomson条件 Ts=下hrr (18) =T1+2k动-u 8) 1+是'M1+: (1十)克 能量守恒条件 (AH+2KY)U=(ks VTs-kT VTL'n(9) (1+经)别(1+3+曲界面, 不再保持平面.在随界面一起运动的移 动坐标系中, 假设受到扰动的界面形状用函数 y =h ( x , t)表示, 则温度场、流场和界面运动的状 态可以用如下的控制方程和边界条件描述: 图 1 具有远场来流的二维定向凝固系统示意图 Fig.1 Sketch of two-dimensional directional solidification with a far field flow ( 1) 在 流场中, 流 动速度 U 满 足 Navier￾S tokes 方程和连续性方程 : ( U· ) U=- 1 ρL P +υ 2 U ( h( x, t) <y <∞) ( 1) ·U =0 ( h ( x , t) <y <∞) ( 2) (2) 在温度场中, 液相温度 T L 和固相温度 TS 分别满足热传导方程 : U· TL =αT 2 TL ( h ( x, t) <y <∞) ( 3) -V TS y =αS 2 TS ( -∞<y <h( x , t)) ( 4) 其中 υ为运动粘度, P 为压力, αT 和 αS 分别为温 度场中液相和固相的热扩散系数, 而 ρL 为液相质 量密度.假定液相和固相的比热容相等, 液相和 固相的质量密度相等, 忽略流场中浮力和热膨胀 的作用. ( 3)界面条件:在界面 y =h ( x , t)上, 质量守恒条件 ( U+Vj) ·n =0 ( 5) 切向无滑移条件 ( U +Vj )·τ=0 ( 6) 热平衡条件 TL =TS ( 7) Gibbs-Thomson 条件 TS =T M 1 +2K γ ΔH - 1 μ U1 ( 8) 能量守恒条件 ( ΔH +2K γ) UI =( k S TS -k T T L) ·n ( 9) 其中, γ为表面张力系数 ;ΔH 为相变潜热 ;μ为 界面动力学系数;K 为界面的平均曲率;n 和τ分 别为界面单位法方向(由固相指向液相)和单位切 方向 ;k T 和 k S 分别为液相和固相的热传导系数; UI 为界面的绝对运动速度, UI = V +ht ( 1 +h 2 x ) 1/2 , h x 和ht 分别为界面形状函数 y =h ( x , t) 对 x 和 t 的一阶偏导数 . ( 4)远场条件:当 y ※∞时, U ※U ∞ ( 10) T L ※T ∞ ( 11) 由式( 1) ～ ( 11) 组成了纯熔体内具有平直界 面的凝固系统 . 2 线性稳定性分析 首先对于所涉及的物理量进行量纲为一化. 选择扩散长度 k T/ ( cpρL V ) 作为问题的长度尺 度, 界 面 的 特 征 速 度 V 为 速 度 尺 度, k T/ ( cpρL V 2 )作为时间尺度, ΔH/ ( cpρL)为温度尺度, ρL V 2 作为压力尺度, 其中 cp 为液相的比热容. 定义量纲为一量 TL = TL -T M ΔH/ ( cpρL) , T S = TS -T M ΔH/ ( cpρL) , U = U V , P = P ρL V 2 . 将凝固系统( 1) ～ ( 11)进行量纲为一化处理. 为了书写方便起见, 仍用 TL, T S 分别表示液相和 固相温度, U 表示速度, P 为压力. ( 1)在流场中, 流速 U=ui +v j 满足 ( U· ) U=- P+Pr 2 U ( h( x , t) <y <∞) ( 12) ·U =0 ( h ( x , t) <y <∞) ( 13) ( 2)在温度场中, U· T L = 2 TL ( h( x , t) <y <∞) ( 14) - TS y =k c 2 TS ( -∞<y <h( x , t) ) ( 15) ( 3)界面条件:在界面 y =h ( x , t)上, u +( v +1) hx =0, v -uhx =-1 ( 16) TL =TS ( 17) T S =Γ hx x ( 1 +h 2 x ) 3 2 -J -1 M 1 +ht ( 1 +h 2 x ) 1 2 ( 18) 1 +ΓJ hxx ( 1 +h 2 x ) 3 2 1 +ht ( 1 +h 2 x ) 1 2 + Vol.28 No.8 陈明文等:远场来流作用下纯熔体液固平直界面的稳定性分析 · 729 ·