些变量或向量都是至关重要的,要仔细分析、选择,尽量扩大对过程 或系统的数量感知范围,包括对已有的、已知的若干量进行结合运 算、取最运算等处理方式,目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析 的差分方程。在后面我们所举的实际例子中,这方面的内容应当重点 体会 差分方程模型作为一种重要的数学模型,对它的应用也应当遵从 般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合 起来使用,因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建 立都需要其他的数学分析方式来进行;另一方面,由差分方程获得的 结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析 等等。 第一节 差分方程的基本知识 基本概念 1、差分算子 设数列{xn},定义差分算子△:Axn=xn1-xn为xn在n处的向 前差分。 而Axn=xn-x为xn在n处的向后差分 以后我们都是指向前差分 可见Ax是n的函数。从而可以进一步定义Axn的差分 称之为在n处的二阶差分,它反映的是的增量的增量 类似可定义在n处的k阶差分为: △xn=△(△-(xn) 2、差分算子、不变算子、平移算子 记kxn=xn1,kn=xn,称E为平移算子,1为不变算子 则有:Axn=Exn-kxn=(E-1)xn 由上述关系可得 △xn=(E-1)xn=∑(-1) CHEx=∑(-1)Cxn( 这表明x,在n处的k阶差分由xn在n,n+1.n+k,处的取值所线性 决定。 反之,2 些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程 或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运 算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析 的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点 体会。 差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一 般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合 起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建 立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的 结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析 等等。 第一节 差分方程的基本知识 一、 基本概念 1、差分算子 设数列 xn  ，定义差分算子 n n n  x = x − x +1 : 为 n x 在 n 处的向 前差分。 而  n = n − n−1 x x x 为 n x 在 n 处的向后差分。 以后我们都是指向前差分。 可见 n x 是 n 的函数。从而可以进一步定义 n x 的差分： n n x x 2 ( ) =  称之为在 n 处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。 类似可定义在 n 处的 k 阶差分为： ( ( )) 1 n k n k x x −  =   2、差分算子、不变算子、平移算子 记 n n n n Ex = x Ix = x + , 1 ，称 E 为平移算子， I 为不变算子。 则有： n n n n x = Ex − Ix = (E − I)x  = E − I 由上述关系可得： n i k i i k k i n i k i i k k i n k n k x E I x C E x C x + = − = −  = − =  − =  − 0 0 ( ) ( 1) ( 1) （1） 这表明 n x 在 n 处的 k 阶差分由 n x 在 n,n +1....n + k ，处的取值所线性 决定。 反之