3将函数展开成幂函数 1、泰勒级数与麦克劳林级数 设函数f(x)在x0的某邻城内具有任意阶导数,则级数 (x0) n! 称为f(x)在x=x0点的泰勒级数 特别当xo=0,则级数 (), fo、f"(o) fn(0) lL 称为f(x)的麦克劳林级数 2、函数f(x)展开成泰勒级数的条件(x-x<R) f()能展开成泰勒级数:f()=至a(-xf 收敛于f(x) e lim R(x)=0 R,(x) x在x0,x之间 (n+1)! 3、幂级数展开式的求法 方法1、直接法:计算a, f(x0) 证明:mRn(x)=0 n xf(x)=f(xo)+f(xoXx-xo)+ f"(xo (x-x0) 方法2、间接法:利用已知的幂级数展开式,通过变量代换四则运 算,逐项求导逐项积分待定系数等方法及到函数的展开式。3 0 将函数展开成幂函数 1、泰勒级数与麦克劳林级数 设函数 f(x) 在 0 x 的某邻城内具有任意阶导数，则级数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 0 0 h 0 n 0 0 n x x 2! f x x x 1! f x x x f x n! f x −  − +   − = +  = ( ) ( ) ++ 0 ( − 0 ) n + n x x n! f x 称为 f(x) 在 x = x0 点的泰勒级数 特别当 x0 = 0 ，则级数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++ +  +   = +  = n n 2 h 0 n n x n! f 0 x 2! f 0 x 1! f 0 x f 0 n! f 0 称为 f(x) 的麦克劳林级数 2、函数 f(x) 展开成泰勒级数的条件 (x x R) − 0  f(x) 能展开成泰勒级数： ( ) ( ) ( ) =  −   ( − )  =  = n 0 n 0 0 n n 0 n n 0 x x n! f x f x a x x 收敛于 f(x)  lim Rn (x) 0 n = → ( ) ( ) ( ) ( ) n 1 n 1 n x n 1 ! f R x + +  +  =  在 0 x ，x 之间 3、幂级数展开式的求法 方法 1、 直接法：计算 ( ) ( ) n! f x a 0 n n = 证明： lim Rn (x) 0 n = → 及 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( − ) +  = +  − + 2 0 0 0 0 0 x x 2! f x f x f x f x x x ( ) ( ) + 0 ( − 0 ) n + n x x n! f x 方法 2、 间接法：利用已知的幂级数展开式，通过变量代换四则运 算，逐项求导逐项积分待定系数等方法及到函数的展开式