在区间D上不存在优级数,级数∑u1(x)在区间D上非一致收敛 注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别 例12判断函数项级数 coS nx 和 在R内的一致收敛性 例13设un(x)(n=1,2,…)是区间[a,b]上的单调函数,试证明: 若级数∑un(a)与∑un(b)都绝对收敛,则级数∑un(x)在区间 [a,b]上绝对并一致收敛.简证,留为作业 u,(x)slu, (a)1+u, (b)... 2.Abel判别法 Th5设i>级数∑un(x)在区间I上收敛;i>对每个x∈I,数 列{vn(x)}单调;i)函数列{vn(x)}在I上一致有界,即彐M>0 使对Wx∈I和Ⅶn,有v(x)|M.则级数∑un(x)n(x)在区 间I上一致收敛 3. Dirichlet判别法 Th6设1>级数∑u1(x)的部分和函数列U2(x)=∑u4(x)在区间 I上一致有界;ⅱ〉对于每一个x∈I,数列{vn(x)}单调;ⅲ)在 区间1上函数列{n(x)一致收敛于零.则级数∑un(x),(x)在区 间I上一致收敛 例14判断函数项级数S(-1)"(x+n) 在区间[0,1]上的一致收敛性 解记n()=(=1,,()=(1+2).则有1)级数∑()收 敛:i>对每个x∈[0,1,n,(x):i>1n(x)=(1+x)≤e在区间 D 上不存在优级数 , ⇒/ 级数∑ xu )( 在区间 D 上非一致收敛. n 注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别. 例 12 判断函数项级数∑ ∞ =in n nx 2 sin 和∑ ∞ =in n nx 2 cos 在 R 内的一致收敛性 . 例 13 设 nxu = ") , 2 , 1 ( )( n 是区间 上的单调函数. 试证明 : 若级数 与 ba ] , [ ∑ au )( n ∑ bu )( n 都绝对收敛, 则级数 ∑ xu )( n 在区间 上绝对并一致收敛 .简证 , 留 为 作 业 . .…… ba ] , [ buauxu |)(||)(| |)(| n n +≤ n 2. Abel 判别法: Th 5 设 ⅰ> 级数∑ xu )( n 在区间I 上收敛; ⅱ> 对每个 x∈ I , 数 列 n xv )}({ 单调 ; ⅲ> 函数列{ n (xv )}在 I 上一致有界, 即∃M > 0 , 使对 x ∈∀ I 和∀n , 有 Mxvn ≤ |)(| . 则级数 ∑ xvxu )()( nn 在区 间I 上一致收敛 . 3．Dirichlet 判别法: Th 6 设 ⅰ> 级数∑ xu )( n 的部分和函数列 在区间 上一致有界; ⅱ> 对于每一个 ∑= = n k n k xuxU 1 )()( I x ∈ I , 数列 单调; ⅲ> 在 区间 I 上函数列 一致收敛于零. 则级数 xv )}({ n xv )}({ n ∑ xvxu )()( nn 在区 间I 上一致收敛 . 例 14判断函数项级数∑ + +− 1 )() 1( n n n n nx 在区间 ] 1 , 0 [ 上的一致收敛性. 解 记 n n n n n x xv n xu ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += − = 1)( , ) 1( )( . 则有ⅰ> 级数∑ xu )( n 收 敛; ⅱ> 对每个 x∈ ] 1 , 0 [ , xv )( ↗；ⅲ> n e 161 n ⎠ x xv n n ⎟ ≤ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1|)(| +=