∑一致收敛;而在区间(-1,1)内,取xn="∈(-11),有 sup Sm, (x)-s(x)sup →∑非一致收敛.。(亦可由通项n(x)=x”在区间(-1,1)内非 致收敛于零,→∑非一致收敛 几何级数∑x“虽然在区间(1,1)内非一致收敛,但在包含于 (-1,1)内的任何闭区间上却一致收敛·我们称这种情况为“闭一致收 敛”.因此,我们说几何级数∑x在区间(-1,1)内闭一致收敛 四、函数项级数一致收敛判别法 1.M-判别法: Th4( Weierstrass判别法)设级数∑un(x)定义在区间D上, ∑M,是收敛的正项级数.若当n充分大时,对Wx∈D有 un(x)|sMn,则∑在D上一致收敛 x)s∑un(x)s∑Mn=∑Mm,然后用 Cauchy准则 亦称此判别法为优级数判别法称满足该定理条件的正项级数∑Mn 是级数∑u1(x)的一个优级数.于是Th4可以叙述为:若级数 ∑un(x)在区间D上存在优级数,则级数∑n(x)在区间D上一致收 斂·应用时,常可试取Mn=sp{un(x)}但应注意,级数∑un(x)∑ 一致收敛 ; 而在区间 − ) 1 , 1( 内 , 取 ∈ + = n 1 n xn − ) 1 , 1( , 有 ⎟ ∞→ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ≥ − =− − − − 1 )1,1( )1,1( 1 1 1 1 1 sup|)()(|sup n n n n n n n n n n n x x xSxS ⇒ ∑ 非一致收敛. ( 亦可由通项 在区间 n n )( = xxu − ) 1 , 1( 内非 一致收敛于零,⇒ ∑ 非一致收敛.) 几何级数 虽然在区间 内非一致收敛 , 但在包含于 内的任何闭区间上却一致收敛 . 我们称这种情况为“闭一致收 敛”. 因此 , 我们说几何级数 在区间 ∑ ∞ n=0 n x − ) 1 , 1( − ) 1 , 1( ∑ ∞ n=0 n x − ) 1 , 1( 内闭一致收敛 . 四、 函数项级数一致收敛判别法: 1．M - 判别法: Th 4 ( Weierstrass 判别法 ) 设级数 定义在区间 D 上, 是收敛的正项级数.若当 充 分 大 时 , 对 ∑ xu )( n ∑ M n n ∀x ∈ D 有 | n n xu |)( ≤ M , 则∑ 在 D 上一致收敛 . 证 , |)(| )( 1 1 1 1 ∑ ∑ ∑ ∑ = = + = + + = + ≤ =≤ p i p i in p i in in p i in Mxuxu M 然后用 Cauchy 准则. 亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数 ∑ M n 是级数 的一个优级数. 于是 Th 4 可以叙述为 : 若级数 在区间 D 上存在优级数 , 则级数 ∑ xu )( n ∑ xu )( n ∑ xu )( n 在区间 D 上一致收 敛 . 应用时, 常可试取 M n xu |})({|sup Dx n ∈ = .但应注意, 级数∑ xu )( n 160