xn=1+x+x2+…+x+… 的部分和函数列为Sn(x) (x≠1),收敛域为(-1,1) 2.一致收敛性:定义一致收敛性. Th2(achy准则)级数∑u1(x)在区间D上一致收敛,台 VE>0,N,Wn>N,Vp∈N,→ un(x)+ln2(x)+…+u n+p(x)|E对x∈D成立 系级数∑un(x)在区间D上一致收敛,→n(x)二0, Th3级数∑un(x)在区间D上一致收敛,台 R, (x)lim sup S(x)-S(x)=0 例10证明级数(-1) 在R内一致收敛 证今2(1)=( 则n→∞时 n lun(x)+um+2(x)+.+un+,(x)1= +x(=1)1≤ →0对Ⅴx∈R成立 n+1√n+1 例11几何级数∑x”在区间[-a,a1(0<a<1)上一致收敛;但在 (-1,1)内非一致收敛. 证在区间[-a,a]上,有 sup S,(x)-s(x)=sup∑ +++++= "" ∞ = n n n xxxx 2 0 1 的部分和函数列为 ) 1 ( 1 1 )( ≠ − − = x x x xS n n , 收敛域为 − ) 1 , 1 ( . 2． 一致收敛性: 定义一致收敛性. Th2 ( Cauchy 准则 ) 级数 ∑ xu )( 在区间 D 上一致收敛, n ⇔ ε ∃>∀ ,0 N , >∀ ∀pNn ∈ N, , ⇒ )()(| |)( ε n+1 + n+2 +"+ + pn xuxuxu < 对∀x ∈D 成立. 系 级 数 ∑ 在区间 D 上 一 致收 敛 , , . xu )( n ⇒ un x)( ⎯⎯→ ⎯⎯→ 0 n ∞→ ) ( Th3 级数 在区间 ∑ xu )( D 上一致收敛, n ⇔ n ∞→ lim = ∈ n xR |)(|sup x D n ∞→ lim − = 0|)()(|sup∈ n xSxS x D . 例 10 证明级数∑ ∞ = − + − 1 2 1 ) 1( n n nx 在 R 内一致收敛 . 证 令 = un x)( nx n + − − 2 1 ) 1( , 则 n ∞→ 时 ≤ ++ − +− ++ =+++ + + + + | ) 1( 1 1 )()(| | |)( 2 1 2 1 2 nx pnx xuxuxu p n n " pn " 0 1 1 1 1 2 → + ≤ ++ ≤ nnx 对∀x ∈R 成立. …… 例 11 几何级数 ∑ 在区间 ∞ n=0 n x − aa ] , [ < a < )10( 上一致收敛；但在 − ) 1 , 1( 内非一致收敛. 证 在区间 − aa ] , [ 上 , 有 0 11 sup|)()(|sup ],[ ],[ → − = − − =− − − a a a x xSxS n n aa n aa , n → ∞ ) ( . ⇒ 159